https://www.youtube.com/watch?v=K4rw5HqS7Kk&ab_channel=%EC%9D%B4%EC%83%81%EC%97%BDMath

실패가 별 거 있겠는가? 관측한 것을 표현할 언어가 없으면 실패한다. 뉴턴과 라이프니츠는 갈릴레이와 데카르트가 발견한 것을 표현한 것 뿐이다. 그러나 부족하다. 그들의 차원에 대한 이해 말이다. 차원은 하나가 둘을 가리킨 것을 말한다. 갈림길이나 나무가지가 분지한 것을 떠올리면 좋다. 그냥 Y자 말이다. 

문제는 부모와 자식의 구분이 있어야 한다는 것이다. 나무가지라면 줄기쪽을 부모라 할 수 있겠다. 수분은 뿌리를 거쳐 중간 가지, 그리고 끝가지로 간다. 즉 끝가지는 중간가지에 다시 중간가지는 뿌리에 의지한다. 그러므로 우리는 중간가지와 끝가지를 동일하게 취급하지 않는다. 부모와 자식이 붙어먹는 것을 금기하는 마당에 인간은 유독 숫자에는 관대한 편이다.

1 x 2 = 2

좌항의 2와 우항의 2는 같은 것이 아니다. 회춘한 엄마와 딸이 비슷해보여도 엄연히 체계가 있고 서열이 있고 위아래의 차이가 있는 법이다. 주먹으로 책상을 내리쳐보자. 책상에는 아무런 변화가 없다. 정말 그럴까? 책상을 백번 내리치면 그 힘은 책상에 누적된다. 우리 눈에 관측되지 않을 뿐이다. 좌항의 2에 1을 곱했으면 우항의 2는 더이상 그 2가 아니다. 이 2는 옛날의 그 2가 아니라는 말이다. 인간은 경험적으로 이를 알고 구분한다. 하지만 숫자 만큼은 그렇게 하지 않는다. 위아래 구분이 없다.

인간이 취급하는 수의 체계가 큰 문제가 있다는 말이다. 차원이 다르면 표기를 다르게 해야 한다. 아무도 구구단을 이상하게 여기지 않았다는 것에서 우리는 분노해야 한다. 좌항의 2에 뭔 짓을 했는데 어떻게 결과가 마찬가지인 2가 된다는 말인가? 많은 인간들이 이를 아무렇지 않게 여긴다. 초등학교 2학년도 이상하다고 느끼는 걸 왜 아무도 안 느끼지?

미적분도 마찬가지다. 분수이되 분수가 아니라는 개소리는 좀 그만하자. 그럼 수의 서열을 어떻게 표현하지? 뉴턴과 라이프니츠가 고민한 지점이다. 그래서 나온 게 델타와 무한이라는 표현이다. 델타는 어떤 차이를 의미한다. 그러면 차이는 왜 나올까? '어떤 둘'이 있어야 결과적으로 '차이'라는 표현을 쓸 수 있다. 무한도 마찬가지다. 우리는 직선에 포함된 점의 개수가 무한대라는 것을 배워서 안다. 그런데 그 무한대는 정말 무한대인가? 

아니다. '한정된 무한대'이다. 적어도 선 밖에다가 점을 찍지는 못하게 하기 때문이다. 선 밖의 점을 가리키려면 선 하나를 더 교차시켜야 한다. 차원을 올려야 한다는 말이다. 내가 만든 말인 '한정된 무한대'를 두고 수학자들은 '선'이라고 표현한다. 선이 정의되려면 어떤 두 점이 필요하다. 두 점을 이으면 선이니깐. 확률도 이와 같다. 확률 안에서 일어날 수 있는 가능성은 무한대이지만 그 총합은 늘 1이다. 1 안에 들어갈 수 있는 수의 개수는? 무한대다. 그런데 절대로 1은 넘을 수 없다. 이런식.

확률은 차원의 다른 표현이라고 보면 된다는 말이다. 인간은 아직 확률을 제대로 정의하지 못했다. 차원의 정의가 불분명하기 때문이다. 그런데 수학자들도 대강 감으로는 알고 있다. 그래서 가끔 오류를 일으키는 수학 계산을 잘도 한다. 수학자들은 미적분과 확률을 전혀 다른 것으로 취급하지만 알고보면 둘은 한 몸이다. 

그것을 알면 수학을 통합할 수 있다. 현대 수학의 큰 두 갈래가 그거니깐. 복소수 등을 다루는 수의 체계도 그렇고. 복소수가 일종의 차원수니깐. 여기에 4원수 같은 걸로 넘어가면 연산이 되네 마네 하는 걸로 확장되고. 그럼 특정 연산을 할 수 있는 체계와 없는 체계가 나뉘고. 연산을 못 하는 게 아니라 원래 못 하는 건데 일부 허용하기로 하자는 걸로 거꾸로 이해해야 하고. 하여간 계속 쭉쭉 이어지는 거지. 여기가 급소니깐 모든 게 이어질 수 있는 거지.

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동영상에 대한 설명을 덧붙이자면, 미적분 기호에 등장하는 분수는 나눌 수 없다. 왜? 위아래의 dy와 dx가 서열이 다르기 때문이다. 서열이 다르므로 직접 연산하면 안 된다. 일반적인 분수에서는 위아래 서열이 같지만 미적분에서는 다르다. 그래서 뉴턴과 라이프니츠는 델타나 무한소(방향이 바뀌면 무한대)로 그 다름을 표현했고. 다만 그들은 수의 서열을 몰랐기 때문에 수에 직접 표기하지 않고 옆에다가 써두었다. 그래서 후학들이 개고생하는 중이고.

아인슈타인이 말하는 '공간의 곡률'이나 양자역학의 '확률'이나 '빛의 이중성' 등등도 다 여기에서 비롯된 해프닝이고. 이거 한 방이면 꽤 많은 게 해결되는데, 수학자들 멱살을 일일히 붙잡고 설명할 수도 없고. 이런 글을 읽고도 반응이 없으니 어이도 없고.