사색문제의 접근

    쉬운 문제인데 왜 수학자들이 골머리를 싸매는지 이해하기 어렵다. 언어적인 표현의 문제가 아닌가 싶다. 첫 단추를 잘못 끼우고 있다. 공간의 차원이 뭘까? 매개변수다. 매개변수는 어떤 둘 사이의 관계다. 어떤 A에서 B까지 연결하는 루트는 몇 개인가?

    셋이다. 1차원 선과 2차원 면과 3차원 입체가 있다. 그런데 실제로는 그게 죄다 선이다. 선을 바닥에 깔면 면이고, 위로 쌓으면 입체다. 우리가 차원이라고 하는 것은 지름길을 찾으려는 것이다. 즉 곱셈을 하려는 것이다. 덧셈을 해도 되는데 편하려고 곱셈이나 제곱을 쓴다.

    그런데 컴퓨터는 덧셈을 쓴다. 곱셈은 일종의 단축키와 같은 것이다. 우리는 십진법을 쓰지만 컴퓨터는 이진법을 쓴다. 이진법으로 계산한 다음 알기 쉽게 십진법으로 출력하는 것이다. 그러므로 우주에는 선만 있다. 면이나 입체 같은 것은 실제로는 우주에 없다.

    우주는 선이며 그 선은 직선이다. 즉 대칭이다. 3D프린터와 같다. 2D도 아니고 1D를 쌓아서 3D를 만든다. 선을 쌓아서 입체를 만든다. 인체도 비슷하다. 레이어가 있다. 얇은 층을 쌓아서 입체를 만든다. 선을 구부려 레이어를 만들고 레이어를 쌓아 입체를 이룬다. 

    우주는 선이고 선은 두 색깔로 나타낼 수 있다. 선은 점이 둘 대칭되므로 대칭을 나타내는 색이 둘이다. 컨테이너를 싣고 가는 기차가 있다. 컨테이너의 색깔을 두 종류로 구분할 수 있다. 그렇다면 면은 무엇인가? 막대자가 선이라면 면(각)은 콤파스와 같다. 

    면은 선을 구부린 것인데 꼭짓점이 셋이다. 콤파스의 두 다리와 가운데 센터가 있다. 콤파스 다리는 선이다. 선은 한 방향인데 두 방향이면 면이다.

    콤파스를 움직이면 면이다. 곧 각이다. 점 셋으로 가장 간단한 도형을 만들 수 있다. 우리는 면이라고 하면 사각형 평면을 떠올리지만 삼각형이 기본이다. 우주 안의 모든 면은 삼각형으로 채울 수 있다. 삼각형은 변이 셋이고 안쪽까지 넷이 사색이다.

    즉 사색이론의 사색은 각이 닫혀 있는 삼각형 안쪽에 변 셋을 더한 것이다. 이게 사면체와 같다는 사실을 알 수 있다. 인접한 나라는 다른 색으로 칠해야 한다. 다면체가 될수록 인접할 확률은 낮아진다. 인접할 확률이 가장 낮은 형태는 사면체다.

    사면체의 색이 넷이므로 사색이론의 색은 넷이다. 너무 쉽잖아. 결론은 인접해 있는 모든 형태는 결국 사면체라는 것이다. 어떤 다면체든 결국 사면체의 집합이며 삼각형의 집합이다.

    1) 모든 도형은 삼각형의 집합이다.
    2) 모든 입체는 사면체의 집합이다.
    3) 삼각형은 닫힌 내부와 세 변을 가지므로 합이 넷이다.
    4) 사면체는 면이 넷이므로 합이 넷이다.
    5) 삼각형의 변을 확장하면 사면체이므로 삼각형은 사면체다.

    우리는 육면체 위주로 사유하지만 육면체는 사면체의 집합이다. 육면체를 쪼개면 사면체 다섯 개가 나온다. 사면체의 의미는 대칭의 배제다. 짝수가 아니라 홀수가 되어야 하는 것이다.

    차원은 원래 매개변수다. A와 B 사이에 매개는 셋이다. 가로, 세로, 높이다. 그래서 3차원이다. 그런데 왜 관측자와 관측대성은 뺐지? A와 B의 상태는 무시해도 되나? 0차원과 4차원이 추가된다. 아인슈타인이 시간을 4차원이라고 말한 것은 넌센스다.

    일회용 부탄가스를 예로 들자. 가스를 켜놓으면 3시간 동안 사용할 수 있다고 치자. 부피 곱하기 3시간이다. 즉 시간은 단순히 밀도를 측정하는 방법 중에 하나인 것이다. 밀도는 질량이나 가속도나 무게로 측정된다. 용수철을 누른다고 치자.

    용수철은 부피가 있으므로 입체다. 이걸 누르는 시간은 용수철에 가해지는 압력과 같다. 더 많은 시간을 누르면 더 많은 압력이 가해진다. 시간은 밀도를 파악하는 요령에 불과하다. 밀도는 내부사정이므로 관측자가 내부에 있다는 사실을 알 수 있다.

    관측자가 외부에 나와 점을 이루면 입체, 관측자가 움직여서 선을 이루면 각, 관측자가 각이면 선, 관측자가 입체면 점이 된다. 즉 차원은 관측대상의 내부질서이면서 내부의 변화에 따른 관측자와의 관계인 것이다. 관측자가 버스에 타면 밀도를 느낀다.

    버스 밖으로 나오면 부피만 파악할 수 있다. 관측자가 버스 밖에서 움직이면 부피도 파악할 수 없고 단면만 인식된다. 관측자의 움직이는 정도가 커지는 정도에 따라 관측대상의 차원은 작아진다. 자이로와 같다. 회전하는 팽이는 점으로 존재한다.

     모든 도형은 펼쳐진 사면체라는 사실을 알 수 있다. 사색문제의 증명은 간단하다. 위상동형으로 보면 모든 도형이 콤파스로 그려지는 삼각형이라는 사실을 증명하면 된다. 이각형은 일단 없다. 이각형은 선이기 때문이다. 선은 2각인데 원은 왜 각이 없을까? 있다. 겹쳐져서 안 보일 뿐. 

    원뿔을 위에서 내려다보면 된다. 사각형은 삼각형 둘로 나눠진다. 다각형 역시 삼각형의 집합이다. 모든 도형의 단순한 형태는 삼각형이므로 색이 넷이다. 선은 열려 있고 면은 닫혀 있다. 도형은 닫혀 있어야 하므로 안팎이 구분된다. 안이 하나고 밖이 셋이다. 합쳐서 넷이다.

    칠교놀이와 같다. 뜯어진 사면체를 어떻게 붙이든 위상은 같다. 한쪽을 붙이면 다른 쪽이 떨어진다. 선 하나가 추가되면 다른 부분이 떨어진다. 왜냐하면 사면 중에 일면은 내부에 갇혀 있어서 연결할 방법이 없기 때문이다. 즉 중간에 담을 두고 안과 밖의 대칭이 되는 것이다.