사색정리 결산

    머리속에서는 쉬운 문제인데 언어로 표현하기가 힘들다. 뇌간지럼증을 유발한다. 간단한 문제인데 오랫동안 풀리지 않았던 이유다. 인간 언어의 한계다. 

  사색문제는 지도와 같은 평면의 구획을 색으로 구분하는 문제다. 사용하는 잉크의 가짓수를 줄이려면 인접하여 공유하는 변의 숫자가 적어야 한다. 만약 다섯 개의 구획이 주변의 다른 모든 구획과 하나 이상의 변을 공유하며 인접하여 있다면 색은 다섯이 된다. 그런데 모든 면이 다른 모든 면과 하나 이상의 변을 공유하는 도형은 사면체 밖에 없다. 사면체를 펼쳐놓으면 사색이 된다.

  면이 방이라고 치자. 건물의 어느 방이든 하나의 문을 통과해서 갈 수 있어야 한다. 사면체는 어느 방이든 다른 방을 통하지 않고 갈 수 있다. 위상수학의 한 줄 그리기와 같다. 사면체는 방이 넷 있고 각 방에는 문이 셋 있으며 어느 방이든 문을 한 번 열고 갈 수 있다. 육면체는 어느 방이든 다른 방을 통과하지 않고 갈 수 없는 방이 하나는 반드시 있다. 

색을 칠하는 면은 닫힌 도형이다. 닫힌 도형은 출발점과, 반환점, 도착점이라는 세 꼭지점을 지정하는 방법으로 구현된다. 점은 출발점만 있고, 선은 출발점과 도착점이 있다. 닫힌 도형은 세 꼭지점과 그 사이를 연결하는 세 변을 가진다. 

1)    모든 면이 인접한 면과 하나 이상 변을 공유해야 한다. 

2)    변을 공유하면 다른 색으로 나타낼 수 있다.

3)  색을 늘리려면 면들은 최대한 많은 변을 인접한 면과 공유 해야 한다.

4)  면들 중에 다른 면보다 다변을 가진 면이 있으면 다른 면들이 변을 하나씩 뺏기므로 제 3의 면과 공유할 변이 없다. 

5)  면들 간에 변의 공유 정도는 균일해야 한다. 

6)    2각형은 없으므로 삼각형이 가장 단순한 도형이다.

7)    삼각형은 하나의 닫힌 도형과 세 변으로 이루어지며 이 보다 단순할 수 없다.

8)    가장 단순한 형태는 사면체이며 사면체는 위상적으로 독립한다.

9) 4면체는 모든 면이 주위의 면들에 의해 닫힌다.

10) 사면체는 위상이 닫혀 있으므로 주변에 새로운 면을 추가하면 반드시 면을 공유하지 않는 변이 있어서 색을 추가할 수 없다. 

11) 도형을 어떻게 그리든 위상적으로는 출발점 반환점 도착점을 그리는 삼각형과 같다. 

12) 모든 면은 삼각형의 집합이고 모든 입체는 사면체의 집합이므로 위상동형이며 예외는 없다.