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김동렬
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사색문제 사색문제는 대칭을 구하는 문제다. 대칭은 같은 색으로 나타낼 수 있기 때문이다. 사색문제는 지도제작업자들이 색으로 국경을 구분한데서 시작되었다. 지도는 판화로 제작되므로 사용되는 색의 숫자만큼 판을 제작해야 한다. 국가가 다섯 이상일 때 대칭을 찾아 같은 색을 사용함으로써 비용을 절갈할 수 있다. 대칭은 서로 만나지 않으므로 같은 색으로 나타낼 수 있기 때문이다. 사색문제의 증명은 대칭을 구하려면 최소 다섯 개의 포지션 지정이 필요하다는 점을 입증하는 방법으로 가능하다. 사색문제라는 표현은 명료하지 않으며 5포지션으로 대칭을 구하는 문제로 이해함이 바르다. 대칭은 힘이 작용했을 때 시소처럼 반대쪽으로 움직이는 것이다. 반대쪽으로 움직이는 이유는 위상이 불균일하기 때문이다.
인접해 있는 포지션의 숫자가 같으면 위상이 균일하다. 4포지션까지는 위상이 균일한 형태의 배치가 가능하다. 그러나 5포지션에서는 반드시 위상차가 발생한다. 이때 대칭이 성립되어 서로 만나지 않으므로 같은 색으로 나타낼 수 있다.
5포지션일 때 가운데의 셋은 주변의 넷과 인접하지만 양극단의 둘은 가운데의 셋과 인접할 수 있다. 위상차가 있으므로 대칭이 성립한다. 5포지션 중의 하나는 같은 색으로 나타낼 수 있으므로 4색이 된다.
시소는 5포지션으로 이루어진다. 5포지션일 때 작용에 대한 반작용이 일어난다. 시소의 가운데가 3이고 양쪽에 1씩 있다. 이때 에너지가 작용하여 가운데 셋이 왼쪽과 인접하면 위상이 균일해진다. 반대로 오른쪽은 계에서 이탈해야 한다. 하나가 얻으면 하나가 잃는 구조가 대칭이다. 시소의 오르내림은 가운데 세 포지션이 왼쪽, 오른쪽과 번갈아 결합하면서 위상의 균일을 만들어내는 것이다.
가위 역시 5포지션을 가진다. 시소나 가위 뿐 아니라 세상의 모든 도구가 순간적으로 5포지션의 대칭을 성립시킨다. 망치나 볼펜이나 칼이라도 대상과 결합하는 순간에 5포지션이 성립한다. 이때 작용반작용의 법칙이 성립한다.
작용반작용의 법칙은 5포지션에서 가운데의 3이 작용측과 결합했다가 다시 반작용측과 결합하면서 진행방향을 바꾸는 것이다. 빛의 반사나 파도의 진행이나 모두 이 원리에 의해 일어난다.
파동의 진행에 따른 호이겐스의 원리는 파동이 진행하면서 결합대상을 바꾸는 것이다. 물분자들이 왼쪽 포지션과 결합했다가 다시 오른쪽 포지션과 결합하며 결합대상을 바꾸게 될 때 그 바꾸어지는 위치만 진행할 뿐 물은 움직이지 않는다. 에너지는 전달되지만 물은 그 자리에 있다. 그대로 바다는 머물러 있다. 대칭은 우주 안에서 서로 떨어져 있는 점 A와 B를 연결하는데 소용된다. 5포지션을 지정함으로써 AB는 연결될 수 있다. 이때 서로 떨어져 있는 거리는 무시하고 방향만 찾는다. 위상이 균일한 포지션이 1일 때 점, 2일 때 선, 3일 때 각, 4일 때 입체가 만들어지고 5일 때 밀도가 탄생되어 서로 연결된다. 점 A와 B가 포지션 1, 2를 차지하고 나머지 3이 그 사이를 연결한다. 이 방법으로 우주 안의 어느 지점에도 도달할 수 있다. 풍선에 바람을 계속 집어넣어 무한히 커질 수 있다면 우주 안의 어느 지점에도 도달할 수 있다. 이때 풍선 내부의 밀도는 균일하다. 풍선은 4포지션을 이루고 있기 때문이다. 도착점까지 5포지션으로 하나의 계는 완성된다. 만약 위상이 불균일하다면 도달할 수 없는 지점이 생겨난다.
의자가 가장 안정된 형태를 이루려면 다리가 셋이어야 한다. 지구가 하나의 포지션을 차지하고 있으므로 다리 셋을 가진 의자가 그 지구와 결합하여 4포지션으로 위상이 균일해지므로 외력의 작용에 저항할 수 있는 구조가 되는 것이다. 다리 셋인 의자에 어느 방향으로 힘이 작용하든 위상이 균일해진다. 의자에 사람이 앉으면 시소처럼 반작용할 수 있게 된다. 그러므로 지탱할 수 있는 구조가 된다.
4포지션을 가진 삼각뿔구조는 각 포지션간의 위상이 균일하므로 가장 안정된 형태가 되어 어느 방향에서의 힘에도 반작용할 수 있다. 외력의 포지션이 추가되어 5포지션으로 대칭이 성립하기 때문이다. 순간적으로 시소가 만들어져서 이쪽이 가진 힘을 저쪽에 떠넘기는 방법으로 반작용함으로써 들어온 힘을 되돌려 보낸다. 그러므로 하나의 사건이 시작되고 종결된다. 대칭은 겹침이고 중복이다. 어떤 일이 시작하는 부분과 끝나는 부분은 언제나 중복된다. 기어의 톱니바퀴가 서로 맞물려 있을 때, 그 맞물리는 지점은 하나의 운동이 끝나는 지점이면서 동시에 다른 운동이 시작되는 지점이다. 사색문제를 통하여 그 겹침이 일어나는 지점을 찾아낼 수 있다. 4포지션으로 위상이 균일해지며 5포지션으로 사건이 시작되고 끝나는 하나의 계는 완성된다. 5포지션은 대칭이 일어나 작용을 반작용으로 되돌리므로 확장성이 없다. 사건이 거기서 종결되고 마는 것이다. 숫자는 1에서 시작하여 2, 3, 4로 끝없이 전개되므로 허무해지고 만다. 무한히 큰 우주 앞에서 왜소한 인간의 모습과 같다. 인간의 모든 패기와 의욕과 동기와 열정이 우주의 거대한 사이즈 앞에서는 개미처럼 작아지고 마는 것이다. 이 지점에서 우주는 공허하며 인생은 허무하다. 그러나 구조는 5포지션에서 완성되어 반작용함으로써 사건을 원점으로 되돌려버린다. 하나의 동그라미가 시작되고 거기서 끝나는 것이다. 고향을 떠난 젊은이가 성공하여 귀향하듯이 임무를 마치고 제자리로 돌아와버린다. 이때 얻어지는 것은 미학적 완전성이다. 사건을 종결하여 제자리로 되돌리는 완전성이야말로 만유의 근원적인 출발점이다. 세상은 5포지션의 대칭과 반작용으로 완결된다. 거기에 에너지를 투입하면 작동을 시작하여 1회의 일을 하고 마친다.
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