http://nogwon.blogspot.com/2018/11/blog-post_205.html

1. 제논의 역설?

: 일단 이게 왜 역설paradox인지부터 이해해야 한다. 역설은 원래 대칭의 대칭으로 구성되어 있다. 어떤 모순된 둘을 드러냄으로써 그 이면에 있는 제3의 의미를 가리키는 게 역설이다. 즉 대칭으로 제3의 존재(대칭)를 드러내는 것이다. 흔히 모순어법이라 부른다. 제논은 이를 알았다. 다만 말솜씨가 부족했다. 어쨌건 그는 대칭을 보여줬고 마무리는 뉴턴이 했다. 하지만 여전히 인간은 이를 이해하지 못한다. 눈뜬장님이다. 무려 2000년간 이를 잘 설명하지 못한다.

"순환논증의 오류"가 문제라는 것을 제논은 알고 있었다. 근데 왜 이게 순환논증일까? 순환논증은 나를 상대로, 또 상대를 나로 설명하는 것을 말한다.

“예를 들어 아킬레스가 뛰는 속도가 거북이의 속도보다 10배 빠르고, 거북이가 아킬레스보다 100m 앞에서 출발한다고 가정하자. 거북이와 동시에 출발한 아킬레스가 거북이가 출발한 지점으로 가는 동안 거북이도 얼마간은 전진한다. 거북이는 아킬레스의 속도의 1/10로 움직이므로 아킬레스가 100m 지점에 도달했을 때 거북이는 10m 앞서 있게 된다.

다시 아킬레스가 달려 그 지점까지 가면 거북이는 10m의 1/10인 1m를 아킬레스보다 앞서게 된다. 이렇게 계속하면 거북이와 아킬레스 사이의 간격은 점점 좁혀지지만 거북이는 아킬레스보다 항상 조금이라도 앞서 있게 되므로, 아킬레스는 결코 거북이를 추월할 수 없다.“

https://www.sciencetimes.co.kr/news/%EC%95%84%ED%82%AC%EB%A0%88%EC%8A%A4%EC%99%80-%EA%B1%B0%EB%B6%81%EC%9D%B4/

잘 보면 아킬레스의 속력을 거북이로, 거북이의 속력을 아킬레스로만 설명하고 있다. 즉 둘의 속력을 m/s 로 표현하지 않고 다만 서로를 비율로만 설명하고 있다. 순환논증의 오류를 일으키고 있는 것이다.

"아킬레스속력 : 거북이속력 = 10 : 1"

우리는 절대시간과 이에 따른 속력의 개념을 당연하게 쓰고 있으므로 여기에 잘 낚이지 않지만, 글만 읽어서는 헷갈린다. 아니 설명할 수가 없는 게 문제다. 인터넷을 열라게 검색해보니 제논의 역설을 이야기 할 때 1/10이란 표현을 쓴 것도 저 사람뿐이고 대부분은 이런 표현조차 쓰질 않는다.

2. 무한의 탄생

컴퓨터 프로그래밍에 무한루프라는 게 있다. for문이나 while문의 상호 참조 때문에 연산이 끝이 나질 않는 것인데, 그 결과는 스택오버플로다. 나자빠지는 것이다. 언어에서는 무한루프가 생겨도 다만 문제가 있다고 느낄뿐이지만 수학으로 넘어가면 좀 달라진다. 왜냐하면 수학에서는 비율에 따른 계산을 하기 때문이다. 이것이 무한급수다.

극한이 나타나는 이유는 무한급수에 의한 것이며, 무한급수는 언어상호참조의 산수버전이다. 이를 게임이론으로도 설명할 수 있다. "네가 생각하는 것을 내가 생각하고 있다고 네가 생각하고 있다는 것을 나는 생각한다."이다. 게임 이론은 상호 의존적인 의사 결정에 관한 내용을 다루는 이론이다. 여기서 말하는 게임은 상호의존적인 의사 결정은 참가자들이 서로 상호 관계가 있는 상황이다. 그런데 상호의존적인 의사결정 상황이 있을까? 그런 거 없다. 너와 나는 의사결정할 수 없다. 결론이 안 난다. 부부싸움에 결론이 날 때는 법정 앞에서 뿐이다. 아니면 아이가 가출해야 반성을 한다. 제 3자가 개입하지 않으면 결정되지 않는 것이다.

그래서 우리는 거리 방정식에 시간을 도입한다. 절대시간이라는 제3자의 개입을 통해 상호참조의 오류를 극복하는 것이다. 시간은 너와 내가 모두 공유하는 것이므로 사기를 칠 수가 없다. 아킬레스는 드디어 거북이를 앞설 수 있는 것이다. 시간이 도입되어 속력이 탄생하고 둘은 이제야 비교우위를 논하고 의사결정할 수 있게 되었다.

그래프에서 아킬레스와 거북이가 만나는 이유는 시간이 절대적으로 흐른다고 가정했기 때문이다. 둘의 간격이 점점 짧아지기만 할뿐 만나지 않는다면 그건 상호참조 때문이다. 이해했는가?

유명한 물리공식이 곱의 형태로 되어 있는 이유가 이것이다. L = v * s, F = m*a, E=mc^2 과 같은 공식이 곱으로 되어 있는 것은 제3자를 도입하는 과정에서 표현된 것이다. 힘의 공식에서는 a(가속도 = l/t^2)가 에너지 공식에서는 c(빛의 속도)가 이런 역할을 한다.

미분이 곱으로 표현된 함수에서 수행되는 이유도 이런 것이다. 곱은 면적을 의미하며 그것의 결과는 차원의 상승을 의미한다. 수학에서는 교환법칙에 의해 함부로 좌항과 우항을 교환하지만, 사건의 관점에서는 부모와 자식의 관계처럼 함부로 이항하면 안 된다. 교환법칙이 가능하다면 뭔가 생략된 것이다. 교환가능하다는 것은 변수간 순서가 없다는 것이다. 보통 교환은 기하학이 적용되는 범위까지만 가능하고 역학이 고려되면 교환은 성립하지 않는다. 2원수까지는 교환하지만 4원수 벡터나 텐서는 교환할 수 없는 현상이 나타난다. 

참고할 만한 구조론 글

http://gujoron.com/xe/1170709 방향성의 이해

http://gujoron.com/xe/gujoron_board/754744 무한은 없다? 

http://gujoron.com/xe/gangron/533546 간은 무한이다

http://gujoron.com/xe/gangron/904669 무한의 문제를 해결하라

http://gujoron.com/xe/1110656 튜링 이발사의 자뻑 문제

http://gujoron.com/xe/gangron/900766 에너지의 연역이다