* 미분의 의미

모든 함수의 궁극적인 목적은 x와 y 사이에 성립하는 비율을 규정하는 것이다. 1차식 까지는 이 논리가 아무런 문제없이 성립하지만, 문제는 2차 이상의 함수식이다. y에 대한 x의 차수가 2차 이상이 되면 이때 x와 y의 비율을 어떻게 표현해야 하는지가 이슈가 된다. x를 제곱해서 그게 y와의 비율이 된다고? 뭔가 말이 꼬이기 시작한다.

이를 기하적으로 표현하자면 다음과 같다.

1) 1차식:

x – y

2) 2차식: (2차식은 트리를 표현한 것이다.)

x – y

x ┘

우리가 알고 싶은 것은 x변화량과 y변화량 사이의 비율이다. 2차식이 되면 x가 2개가 되어 말하기가 곤란해진다. 그래서 x 하나를 “고정“시킨다는 개념을 떠올린다. 이때 ”고정“이 독특한 컨셉이라고 생각할 필요는 없다. 우리가 일상에서 흔히 사용하기 때문이다.

우리는 어떤 사건(종속변수)에 여러 독립변수가 개입되어 있을 때, 추론을 쉽게 하고자 개별적인 독립변수 중 어느 하나를 고정시켜 종속변수(y)에 대한 각 독립변수(x)의 영향력을 산출하는 방법을 흔히 사용한다. 미분의 아이디어도 정확히 이와 같다. 다만 현대 수학의 표현법에는 ”변수를 고정“ 한다는 개념이 없기 때문에 굳이 limit x -> 0과 같은 방법으로 우회 표현할 뿐이다. "x는 0인데 그 0은 아니야."

예를 들어 y = x^2(제곱)이 있을 때, 이를 x에 대하여 미분하면 2x가 나오며, 이때 2x를 현대수학에서는 “접선의 기울기”라고 표현하는데, 달리 표현하자면 “두 개의 x가 곱셈에 의해 y에 맞물려 있다“가 된다.

이때 두 x 중 어느 하나를 ”고정시켜 다른 x에 딸리는데“, 저자가 굳이 ”고정시켜 딸린다“는 어색한 표현을 사용하는 이유는 나중에 미분을 편미분과 통합하여 설명하기 위함이다. 참고로 편미분은 딸리지 않고 고정한다. 편미분 상황의 독립변수들은 쌍둥이가 아니기 때문이다(x1, x2..). 그래서 편미분은 다변수함수에서 사용된다.

* 참고: 깨봉수학

미분의 기하학적 표현: https://youtu.be/qcorAuRQJzA

편미분의 기하학적 표현: https://www.youtube.com/watch?v=GX7xxAFfPK4&t

한편 이러한 미분의 정의 때문에 일반적으로 미분의 기울기라는 개념은 2차식 이상에서만 성립이 된다. 물론 1차식도 미분할 수 있지만, 미분 결과가 상수가 나오므로 기울기로서의 의미가 없으므로 논외가 된다고 할 수 있겠다.

여담으로 1차식과 2차식 사이에는 단순히 x의 차수가 높다는 것 이상으로 논리의 레벨상 큰 차이가 있다. 1차식은 제3의 대상을 생략하고 단순히 x와 y 사이의 비율만을 표현한 것으로 볼 수 있고, 2차식은 y를 제3의 대상으로 정하고 쌍둥이 x를 대칭시켰을 때 x“들”과 y의 비율을 표현한 것으로 볼 수 있기 때문이다.

* 이게 구조론과 무슨 상관이 있냐고?

구조론은 현대 수학과 달리 그 기본이 트리(기하학)부터 시작한다. 물론 기하학에서 끝나지 않고 “구조“까지 더 복잡하다. 어떤 두 대상의 관계를 단순히 두 대상만으로 분석하려는 것이 y = ax와 같은 1차식이라면 두 대상이 종속하는 제3의 대상까지 함께 거론하는 게 기하학이다. 왠지 기하학이 아니라 2차식이 되어야 할 것 같지만, 현대 수학이 대수학을 기본하는 터라 차수가 높아진다고 하여 그것을 꼭 기하학으로 표현하지 않는 문제가 있다.

그리고 이는 “아킬레스와 거북이”를 비교 표현하고자 둘 만을 사용하는 표현상의 한계와 정확히 궤를 같이 한다. 아킬레스와 거북이는 이전에도 말했던 것과 같이 “순환논리의 오류”를 다루는 것이다. 그래서 갈릴레이와 뉴턴에 걸쳐 이 문제를 해결하려고 인간이 소위 제3의 대상인 ”시간“을 발명했다. 시간과 함께 속도의 개념이 등장하는 것이다. 

잘 알려진 것과 같이 제논의 궤변은 속도의 개념이 도입되면 즉시 파훼된다. 제3의 기준을 넣었으므로. 그래서 법원에서는 대립하는 두 사람과 관계가 없는 제 3의 기준인 증인의 발언을 중시하는 것이다. 그래야 대치하는 둘의 순환논리 싸움이 끝나므로.