피타고라스의 정리의 진정한 비밀

여기서 피타고라스의 정리의 비밀을 명백하게 밝혀보자. 직각삼각형의 세 변은 각각 특정한 값을 가지고 있다. 각각의 값은 그 변의 대각선 방향에 있는 각이다. 이때 빗변 C의 값은 90°으로 항상 고정되어 있다. 그 이유는 직각삼각형이기 때문이다.

우리가 피타고라스의 정리를 쉽게 이해하지 못하는 것은 바로 빗변 C의 값이 절대적으로 고정되어 있다는 사실을 깨닫지 못했기 때문인 것이다.

1+□=4, 2+□=5 로 되는 규칙의 식이 있다고 치자. □의 값은 3이다. 이 3은 항상 고정되어 있다. 그러므로 비례식이 성립하는 것이다. 만약 □의 3이 고정되어 있지 않다면 위 규칙은 성립하지 않는다. 그 경우 식이 틀린 것이다.

여기서 알 수 있는 것은 어떤 하나의 비례식이 성립하기 위해선 반드시 셋 이상의 개체가 있어야 하며 그 중 하나는 상수로 고정되어 있어야 한다는 점이다. 만약 셋이 다 변한다면 식은 성립하지 않는다.

우리는 세 개체 중 하나를 상수로 묶고 나머지 두 변수 중 하나를 추론하여, 나머지 하나를 밝혀내는 것이다. 즉 A, B, C 셋 중 하나가 나머지 둘을 통일하고 있는 경우에 한하여 조건부로 식은 성립하는 것이며 이때 둘을 통일하는 하나의 상수를 파악하므로서 나머지 두 변수의 관계를 추론할 수 있는 것이다.

직각삼각형에서 그 상수는 빗변 C다. 문제는 3 : 4 : 5의 변을 가진 직각삼각형에서 빗변 C의 값이 90°로 고정되어 있다는 사실을 알아채지 못하는데 있다. 즉 우리는 3, 4, 5가 우연히 얻어진 숫자로 착각하고 있는 것이다.

직각삼각형의 한 각은 언제나 90°로 불변이며 우리는 나머지 한 각을 파악하는 방법으로 나머지 한 각의 크기를 알아챌 수 있다. 이것이 피타고라스의 정리의 본질이다.

혼란을 일으키는 제곱의 비밀

여기서 제곱이라는 개념이 혼란을 일으킨다. 제곱은 선을 면으로 바꾼 것에 불과하다. 이는 작도를 해봐야 알 수 있다. 그러나 우리의 눈 앞에 놓인 것은 삼각형일 뿐이다. 즉 면은 감추어져 있다. 어디에?

실로 말하면 면은 존재하지 않는다. 직각삼각형은 세 개의 각을 가진다. 한 각은 90°이다. 나머지 두 각은 합해서 90°이다. 밑변과 높이가 1인 직각삼각형이라면 밑변과 높이 1의 값은 45°이다. 이 45°가 곧 1이면 빗변 90°은 2다.

각은 항상 제곱의 형태로 존재한다. 하나의 선분 만으로는 각이 성립하지 않는다. 각은 최소한 둘 이상의 선분에 의하여 성립한다. 각이 항상 제곱의 형태로만 존재하는 이유가 바로 그 때문이다.

면은 밑변과 높이에 의해 구해진다. 여기서 밑변과 높이는 크기가 다를 수 있다. 그러나 각은 항상 밑변과 높이의 크기가 같다. 그러므로 각은 항상 제곱의 형태로만 존재하는 것이다.

그러므로 피타고라스의  A²+b²=C²는 곧 각A+각B=각C이다. 삼각형의 내각의 합은 180도로 고정되어 있다. 왜냐하면 직선으로 된 수평선의 각이 180°이기 때문이다. 모든 삼각형은 이 직선을 임의의 방향으로 일정거리만큼 전개한 것이다.

즉 삼각형은 부풀려진 직선이다. 사각형은 두 방향으로 전개된 직선이다. 여기서 선의 전개는 반드시 직각으로만 성립한다. 즉 모든 삼각형 혹은 사각형 속에는 직각삼각형이 숨어 있다. 모든 도형은 직각형의 집합으로 존재한다. 원도 역시 많은 작은 직각삼각형들의 집합으로 되어 있다.

여기까지에서의 결론을 정리하면

1) 모든 도형은 선의 임의의 방향으로의 전개이다.
2) 선의 전개는 1차적으로 각을 성립시키며 각은 항상 제곱으로만 성립한다.
3) 면은 2개 이상의 각의 집합으로 성립한다.

이러한 논의들이 필요한 이유는 어떤 기점에서 전개하여 가지를 쳐나가는 우선순위를 판단하기 위한 것이다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 이러한 순서를 무시하고 바로 어려운 정리를 학습해야하기 때문이다. 즉 점과 선에 대한 충분한 이해가 결여된 상태에서 바로 면을 학습하게 되는 것이다.   

면은 각을 집적한 것이다. 그러므로 각을 이해하지 않으면 면을 이해할 수 없다. 제곱은 곧 각이다. 우리는 각을 이해하지 못한 상태에서 바로 제곱을 학습해야 하는 부담을 짊어지게 된다.

1) 점은 기점이다.
2) 선은 점의 임의의 방향으로의 전개이다.
3) 각은 선의 임의의 방향으로의 전개이다.
4) 면은 둘 이상의 각이 집적된 형태이다.
5) 입체는 둘 이상의 면이 집적된 형태이다.

피타고라스의 정리는 각과 면이 특정한 함수관계에 통일되어 있음을 나타낸다. 즉 각을 알 수 있으면 면을 구할 수 있는 것이다. 우리는 처음부터 면이라는 어려운 문제에 직면하곤 한다. 구조론은 점에서 선, 선에서 각, 각에서 면, 면에서 입체에 이르기까지 단계적으로 가지를 쳐나가므로서 복잡한 구조체의 본질에 쉽게 가닿을 수 있게 한다.