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이금재.유율법
1. 소개[편집]
2. 수학사적 의의[편집]
뉴턴이 유율법을 발견하기 이전에는 모든 그래프의 모든 점에 대하여 접선의 기울기를 구하는 방법은 없었다. 르네 데카르트, 피에르 드 페르마 등 많은 수학자들이 포물선 등 특정 개형의 곡선에서 성립하는 방법론을 고안했지만, 결코 보편적인 방법이 되지 못했다.[1] 그러나 유율법은 처음으로 모든 그래프에 적용할 수 있는 방법이었다. 비록 뉴턴의 논리에는 후술할 약간의 허점이 있긴 하였지만, 유율법을 사용하면 접선의 기울기를 제대로 구할 수 있는 것만은 확실하였다. 뉴턴은 적분까지 발견하고 미분과 적분의 관계까지 밝혀내어 미적분을 창시했다. 현재까지도 미적분의 응용 범위는 실로 방대하며, 수학뿐만 아니라 다른 학문에도 긴요하게 사용되고 있다. 자세한 내용은 미적분학 문서를 참고하라.
3. 개념[편집]
한 점이 곡선 위를 무한히 짧은 시간 동안 오른쪽으로 움직인다. 뉴턴은 이 '무한히 짧은 시간'을 그리스 문자 (오미크론)이라는 기호로 나타냈는데, 은 더 자세히 말해서 0은 아니지만 0에 한없이 가까운, 극히 짧은 시간이다. 구체적으로 '몇 초' 식으로 정해져 있지는 않다.
한편, 점은 곡선 위를 따라 움직이므로, 점이 움직인 자취는 곡선의 일부이며, 그 역시 곡선이다. 그러나, 점이 무한히 짧은 시간 동안 움직인다면, 그 점이 움직인 자취는 극히 짧은 직선으로 간주할 수 있다.[2] 이 극히 짧은 직선이란 곧 점의 진행 방향이며, 점의 출발 지점의 접선과도 같다.
한편, 점은 곡선 위를 따라 움직이므로, 점이 움직인 자취는 곡선의 일부이며, 그 역시 곡선이다. 그러나, 점이 무한히 짧은 시간 동안 움직인다면, 그 점이 움직인 자취는 극히 짧은 직선으로 간주할 수 있다.[2] 이 극히 짧은 직선이란 곧 점의 진행 방향이며, 점의 출발 지점의 접선과도 같다.
(중략)
4. 허점[편집]
유율법의 아이디어는 세계 최초로 고안된 모든 곡선의 접선의 기울기를 구하는 방법론이었던 만큼 분명히 획기적이었으나, 사실 유율법은 완전하지 않다. 사실 앞서 설명한 유율법의 메커니즘은 넉넉하게 잡아 중학교 3학년만 되어도 이해할 수 있다. 그러나 유율법은 수학적으로 엄밀하지 않기 때문에 고등학교 2학년에 극한과 미적분을 배울 때 유율법을 배우지 않는 것이다. 고등학교 시절에 배우는 극한은 뉴턴이 살던 시기에는 없던 개념이며, 후세 수학자들의 연구로 탄생한 것이다.
4.1. 비판[편집]
영국의 철학자이자 성직자 조지 버클리(George Berkeley, 1685-1753)의 비판이 대표적이다. 버클리는 합리주의를 표방하는 자들이 연구한다는 미적분의 방법론에 대해서도 그들 스스로 엄밀함을 확보하지 못하는 주제에 자신이 몸담고 있는 교회의 비합리성만을 비판하는 행태를 공격했다. 버클리는 '무한소'의 개념을 엄밀히 확립하지도 않은 채 아무렇게나 무한소라는 단어를 남발하는 수학계의 행태를 비판했는데, 그중에서 유율법에 등장하는 도 여지없이 비판의 대상이 되었다.[3]
요컨대 비(比)는 모름지기 유한한 값 두 개로 결정되거나[4] 부정(不定) 의 꼴이 되지, 아예 0은 아니긴 아닌데 0으로 간주되기도 하며 어쨌든 한없이 작은 무한소 두 개의 비를 논할 수는 없다는 것이었다. 앞서 살펴 보았듯이, 유율법에서는 한없이 짧은 시간 동안 점이 이동한 한없이 짧은 거리의 비[5]를 접선의 기울기로 간주하므로, 유율법은 버클리의 이러한 비판을 모면할 수가 없다.
요컨대 비(比)는 모름지기 유한한 값 두 개로 결정되거나[4] 부정(不定) 의 꼴이 되지, 아예 0은 아니긴 아닌데 0으로 간주되기도 하며 어쨌든 한없이 작은 무한소 두 개의 비를 논할 수는 없다는 것이었다. 앞서 살펴 보았듯이, 유율법에서는 한없이 짧은 시간 동안 점이 이동한 한없이 짧은 거리의 비[5]를 접선의 기울기로 간주하므로, 유율법은 버클리의 이러한 비판을 모면할 수가 없다.
버클리의 또 다른 비판점은, 유율법에서 무한소 을 처리하는 방식이 비논리적이라는 것이다. 위 예시의 계산 과정을 보면, 의 양변을 으로 나누어 를 얻었는데, 마지막 식 에서는 이 한없이 작다면서 0으로 간주하여 무시해 버렸다! 다시 말해, 0으로 나누기가 금지되어 있는 이상 양변에서 을 나누는 동시에 이 곱해진 모든 항을 0으로 간주하여 무시할 수는 없다는 것이다. 버클리는 이처럼 애매모호하기 짝이 없는 무한소의 개념을 대차게 깠다.
4.2. 해결[편집]
조지 버클리가 촉발한 미적분의 엄밀함을 둘러싼 논쟁은 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy, 1789~1857)에 의해 비로소 해결되었다. 그는 〈해석 교정〉에서 극한의 개념을 정의했으며 1823년 출판된 〈왕립 에콜 폴리테크니크의 무한소 계산 강의 요록〉에서 그 유명한 엡실론-델타 논법을 고안하여 미적분의 엄밀함을 확보했다. 그는 '한없이' 따위의 엄밀하지 않은 표현을 의식적으로 배제하면서 엄밀함을 추구했다. 엡실론-델타 논법 참고.
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고등학교 수학에서 문제를 풀고 있으면 왠지 꼼수로 문제를 풀어나간다는 생각을 지우기가 힘든데, 솔직히 '분모에 0이 들어가면 안 된다'는, 이때까지 깨뜨리면 안 된다고 알고 있었던 절대적인 명제를 '0은 아니지만 0에 한없이 다가간다'는 이도 저도 아닌 궤변으로 때워버렸다고 느낄 수도 있다. 제대로 된 접근 없이 고등학교 미적분을 현실에 응용했다가 들어맞지 않는 경우도 많다.
이는 현재의 고등학생들뿐만 아니라 미적분의 개념이 제시될 당시, 그러니까 함수와 극한의 개념이 모호해 무한소라는 개념으로 때워버렸을 당시에 많은 학자들에게도 마찬가지로 적용되었다. 그 당시 학자들은 혁명적인 개념이었던 미적분을 엄청나게 사용했고, 그러다가 미적분을 적용해서는 안 될 식에서조차 적용해버려 결국 이상한 값이 나와버리는, 한마디로 미적분 만능주의에 걸려버린 것이다. 그를 대체하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였고 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 오일러 역시 활발히 극한을 사용했지만 그도 당시의 한계를 넘어서지는 못하여 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다.
프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 극대-극소 문제를 해결하기 위해서 "Adequality"라는 개념을 내놓았다. "ad-"+"equality", 즉 거의 같다는 뜻으로, 극점에서 독립변수가 아주 조금 변해도, 함수값이 거의 같다는 것이다.(나무위키)
이는 현재의 고등학생들뿐만 아니라 미적분의 개념이 제시될 당시, 그러니까 함수와 극한의 개념이 모호해 무한소라는 개념으로 때워버렸을 당시에 많은 학자들에게도 마찬가지로 적용되었다. 그 당시 학자들은 혁명적인 개념이었던 미적분을 엄청나게 사용했고, 그러다가 미적분을 적용해서는 안 될 식에서조차 적용해버려 결국 이상한 값이 나와버리는, 한마디로 미적분 만능주의에 걸려버린 것이다. 그를 대체하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였고 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 오일러 역시 활발히 극한을 사용했지만 그도 당시의 한계를 넘어서지는 못하여 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다.
프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 극대-극소 문제를 해결하기 위해서 "Adequality"라는 개념을 내놓았다. "ad-"+"equality", 즉 거의 같다는 뜻으로, 극점에서 독립변수가 아주 조금 변해도, 함수값이 거의 같다는 것이다.(나무위키)
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해결 좋아하네. 하나도 해결 안 됐구만. 잘 모르겠으니깐 대충 덮어놓고 가고 그러는 거 아니다. 수학자들이 괜히 한없이 0에 다가간다는 표현을 하는 게 아니다. 말하기 어려웠지? 자, 이제 내가 "극한"을 구조론에 근거하여 정의하겠다. 극한의 의미는 "차이 = 2, 공통 = 1의 동시성"이다. 이게 바로 둘이 하나에 맞물린 상황이다. 이 그림이 머리에 잘 안 떠오르면 트리나 갈림길을 생각해도 좋다. 또한 차원의 의미다. 직교하는 그래프 상에 점 하나가 찍힌 것을 떠올려도 좋다. 즉 구조론이 이산수학, 대수학, 기하학, 해석학, 통계학을 통합하였다. 이제 인공지능이나 만들어야지.
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