숫자에 차원이 있다면? 그것을 어떻게 표현할 것인가? 면적의 숫자와 길이의 숫자는 차원이 다르다. 그래서 우리는 단위를 넣는다. 각각 거리와 면적을 나타내는 m(미터)와 m^2(제곱미터)의 숫자는 차원이 다르다. 그런데 함수에서 변수는 차원이 다름을 어떻게 표현할까?

그래서 수학자는 limit를 사용한다. limit는 원래 거리와 면적의 관계를 함수로 유도하는 과정에서 나온 것이지만 결국은 변수의 차원이 다름을 표현하는 것이 되었다. 근데 왜 하필 limit일까? limit는 무한이다. 무한은 무한대와 무한소가 있다.

물리학에서 어떤 함수를 미분하여 얻는 것은 소위 “순간변화율”이다. 왜 하필 순간일까. 이쯤에서 불교가 떠오르면 좋다. 불교의 찰나는 물리학의 순간이다.

https://www.sciencetimes.co.kr/news/%EC%88%9C%EA%B0%84%EC%97%90-%EC%88%A8%EC%96%B4-%EC%9E%88%EB%8A%94-%EC%98%81%EC%9B%90/

불교의 찰나는 사실 영원을 의미한다. 선 안에 점은 몇 개가 있을까? 어렸을 때 이런 질문 해봤을 것이다. 정답은 무한개라고 한다. 그런데 무한개는 뭘 의미하지? 질문이 잘못됐다. 무한개는 개수가 아니다. 그것은 차원이다. 여기서부터 꼬여버렸다. 왜 갯수를 세냐고. 

인간이 시간을 발명했을 때를 생각해보자. 왜 하필 뉴턴이 속도와 가속도를 정의했을까? 원래 유럽의 철학자들은 제논의 궤변에 대해서 고민을 오랬동안 했었다. 고대그리스 시대부터 갈릴레이에 이르러 뉴턴이 그것을 표현하고자 노력했고, 그 결과가 미적분이다.

이전에도 말했듯이 제논의 궤변은 “속도”의 개념이 들어가면 쉽게 파훼된다. 아킬레스가 거북이 보다 속도가 더 빠르네. 근데 속도를 정의하려면 “시간”이 필요하다. 근데 시간이 뭐지? 젠장할 시간은 원래 없는 것이다. 물론 구조론에도 시간은 있다.

근데 구조론의 시간은 어떤 양적 시간을 의미하는 게 아니라 순서나 서열의 시간을 의미한다. 즉 인과관계다. 그럼 뉴턴의 시간은? 그것은 제3자다. 법정에서도 제3자를 세우는게 이유가 있는 것이다. 그런데 뉴턴의 시간에는 양이 있던데?

사실 그것은 시간이라기 보다는 제3의 거리라고 보는게 맞다. 제논의 궤변은 아킬레스의 거리와 거북이의 거리로 구성되어 있고, 제논이 (시간이라는) 제3의 거리를 몰래 빼두어서 인간을 헷갈리게 만든 것이다. 그래서 뉴턴은 (시간이라는) 제3의 거리를 도로 슬쩍 넣은 것이다.

쉽게 말해 미적분은 선과 면적의 관계에 대한 정의를 하는 것이다. 보통은 limit를 선과 면적의 관계를 유도하는 과정에서 만든 것이라고 생각하지만, 틀렸다! 오히려 limit는 그것을 만든 놈의 직관에 의해 붙은 표현이라고 보는 게 맞다.

함수의 변수는 차원의 차이를 가져야 한다. 그런데 문제는 멍청한 인간들이 이걸 이해를 못한다는 것이다. 그것을 표현하는 방법이 limit x->0 이다. 인간의 가장 큰 약점은 맥락이 다른 것을 잘 표현하지 못하고, 표현하지 못하므로 잘 보지 못하는 것이다.

근데 사실은 잘 이해한다. 뭘로? 느낌으로. "이 애플과 저 애플은 다른 것이다"와 같은 예문을 헷갈리는 사람은 없다. 근데 전제와 진술에 같은 “것”이 있다면 얘기가 달라진다. 헷갈리는 것이다. 왜? 표현이 같기 때문이다. 근데 뜻은 다르다.

그래서 우리는 느낌으로 그것을 파악한다. 어떻게? 당신의 머리에 그것이 코딩되어 있기 때문이다. 신경을 보라. 딱 나무처럼 생겼다. 핵이 있는 머리와 가지가 있는 꼬리로 된 것이 신경의 구조다. 왠지 저기다가 뭘 넣으면 머리와 꼬리로 나뉠 것 같지 않나?

근데 동물의 꼬리는 하나인데, 왜 나무의 꼬리인 가지는 여러 개지? 동물의 꼬리는 움직이기 땜시롱 하나가 여럿의 역할을 한다. 나무의 가지는 움직이지 않고. 말이 좀 셌는데, 정리하자면 인간은 숫자에 차원이 있다는 것을 잘 모른다.

인간의 방정식은 두 가지로 구분된다. 차원간 방정식과 차원내 방정식이다. 먼저 차원내 방정식은 수의 정의에 녹아있는 것이다. 1 + 1 = 2가 있다. 이때 중요한 것은 수학적귀납법에 의해 1이 2로 3으로.. 재귀적으로 복제되는 것이며, 이것이 수의 정의다.

같은 정의를 반복적으로 복제하는 것이다. 이것이 차원내 방정식이다. 물론 자세히 뜯어보면 이것조차 차원간 방정식이지만 편의를 위해서 이건 차원내라고 하자. “규칙”이라는 부모에 의해 자식들이 “류”로서 재귀복제 하는 것.

반면 차원간 복제는 면적과 같은 것이다. 통계학에서 제곱이 자주 사용된다는 것을 아는가? 그리고 선형대수는? 또한 미적분은? 기하학은? 정보학은? 이들의 모든 공통점은 제곱을 아아아아아아아아주 신성시한다는 것이다. 왜?

사실이지 수학의 기본은 제곱이다. 세제곱은 일단 논외로 한다. 그거 너무 복잡하잖아. 정보이론은 로그라고? 로그도 알고 보면 제곱에 관련된 거라는 걸 알 텐데. 그리고 하나 더하자면 엔트로피의 정의다. 잘 알려져 있다시피 정보이론의 엔트로피와 열역학의 엔트로피는 같은 뿌리를 가지고 있다.

중요한 것은 이 모든 학문이 차원간 이동을 표현하려고 한다는 것이다. 근데 말이다, 좀 유치한 데가 있다. 아니 그냥 차원이 다른 거라고 하면 되지, 뭘 그렇게 어렵게 꼬아서 말을 하나? 정말이지 코시의 "입실론(아주 작은) 델타(차이) 논법"은 초딩 같은 것이다. 이놈아, 그냥 차원이 다른 거라고 왜 말을 못해.

https://namu.wiki/w/%EC%97%A1%EC%8B%A4%EB%A1%A0-%EB%8D%B8%ED%83%80%20%EB%85%BC%EB%B2%95

이 어려운 글을 관통하는 단 하나의 개념이 바로 차원이다. 야, 길이의 차원과 면적의 차원은 다른 것이야. 학교에서는 미적분을 계산하여 구체적인 숫자를 만들어내는데 집중하지만, 사실 미적분의 계산에 있어 구체적인 값은 중요하지 않다. 그것은 규칙을 그렇게 정한 것일 뿐이다.

특히 덧셈과 곱셈은 관계를 그렇게 정의했을 뿐이다. 덧셈뺄셈이 차원내 연산이라면 곱셈나눗셈은 차원간 연산이다. 그래서 곱셈은 제곱과 연관이 깊고, 선형대수학과 사원수에서 교환법칙이 곱셈에 이르러 깨지는 것이다. 당연히 곱셈은 좌우의 변을 교환하면 안 되는 거.

그거 차원이 다른 놈들이라서 함부로 바꿔치기 하고 그러면 안 된다니깐? 아무튼 이 개념을 확장하면 면적이 곧 시간이 된다. 그렇다. 우리가 시간이라고 부르는 것은 면적과 아아아아주 깊은 관련이 있는 것이다. 물론, 당신은 그렇게 생각하지 않겠지만. 아마 물리학자라면 좀 이해하지 않을까?

이쯤 되면 왜 아인슈타인이 시공간을 가지고 말하는지 대강 감이 오겠지? 당연하잖아. 아인슈타인은 새로운 절대자를 찾은 거야. 아인슈타인 시대에는 철도가 발달했데. 인간이 갑자기 이동할 수 있는 거리가 멀어지니깐 뭐가 문제가 되겠어? 약속시간이 문제가 된 거야. 갈 때랑 만날 때랑 어떻게 약속을 일치시키지? 그러다가 아인슈타인이 뭔가를 느낀거. 아흑.

빛의 속도는 개뿔. 정확하게 말하면 빛의 거리지. 그게 바로 빈 공간의 거리를 대강 정의한 거라고. 물고기에게 물과 같은 거랄까. 물고기 말고 어떤 것. 물고기를 근본 정의하는 기저에 깔린 것이 바로 빈 공간. 혹은 공간. 아인슈타인식으로 시공간. 뭐 대강 그런 거지. 너무 당연해서 있는줄도 모르는 것. 물밖으로 나가야 보이지만 나갈 수 없는 것. 3차원 존재에게 4차원과 같은 것. 자식에게 부모, 점에게 선, 물질에게 에너지. 뭐 그런 거.

인간은 차원이 다르면 보통 안 헷갈리그로 이름을 바꿔버리는데, 이게 안 통하는 게 바로 컴퓨터 프로그래밍이다. 메모리 안 잡아먹게 간결하게 쓰다보니깐 최대한 이름을 적게 만들어야 한다. 근데, 비슷한데 다른 것들이 너무 많아. 그래 가지고 이름 짓다가 작명소 차리시겠어? 프로그래밍에서 버그가 가장 많이 생기는 이유가 뭘까? 바로 대상을 잘못 지정하는 것 때문이다. 

대상을 왜 잘 못 지정할까? 출신이 다른 놈들, 차원이 다른 놈들을 같은 것이라고 착각하기 때문이다. 언제 이런게 발생할까? 객체지향에서 클래스의 상속이다. 야, 부모한테 있던 거랑 자식한테 있던 거랑 그게 그거 아니냐고? 아니야 임마. 그건 완전히 다른 거야. 근데 그게 표현이 안 돼. 왜? 이름이 똑같거든. 그래서 파이썬을 만든 귀도반로섬이 죽어도 self를 삭제하지 말라고 하는 거야.

왜냐고? 인스턴스변수 앞에 셀프를 써두어야 그게 인스턴스(일종의 자식)에 의한 것인지 알고 그래야 클래스변수랑 구분을 할 거 아녀. 출신이 분명해야 헷갈리지 않는다고. 그러다가 다중 상속하고 그러면 족보가 확 꼬이겠네? 그러니깐 함부로 복붙하지 말라고. 자바개발자들아. 늬들이 복붙으로 코딩을 배우니깐 스파게티 코드가 아니라

애미애비없는 인스턴스가 정신없이 돌아댕겨서 이놈저넘 막 붙어먹어서 잡놈이 되고 그래서 엉뚱한 헛짓거리 하고 그래서 버그가 생기는 거잖아. 코드에서 나름 점으로 주소를 표현하는 게 이유가 있다고. 메서드와 변수, 인수도 모두 점으로 주소를 구분하잖아. 그래서 self.변수 하는 식으로 주소, 즉 출처 또는 소속을 표현하는 거라고.

그외에도 상당히 잘못 알려진 개념이 0이다. 야 이놈아. 0은 없는 게 아니라 단위가 다른 것을 표현하는 거란다. 10과 100을 구분하는 거라고? 아니 임마. 단위가 올라가잖아. 그냥 2와 2라고 쓰면 헷갈리니깐, 2와 20이라고 다르게 표현한 거잖아. 그래서 미적분도 일부러 limit를 써주는 거라고. 0으로 못 나누게 하려는 게 아니라 임마.

부모랑 자식이랑 동급 취급 하면 안 되니깐, 연산 과정에서 함부로 0이 안나게 하려는 게 아니라 임마. 0이 차원의 의미를 가진다고 생각하면 문제가 안 되는데, 없다고 여기니깐 문제가 되는 거고. 그래서 머리 나쁜 애들이 오해하지 말라고 굳이 limit라고 써두어서 유도과정에서 0을 안 만들어주는 아주 친절한 아자씨들이 수학계를 먹은 거라고.

그리고 그게 뉴턴이야. https://youtu.be/In7fzo1JdHE

이런 거 아니라고. 저건 그냥 길이를 면적으로 바꾸는 걸 어떻게 골 때리게 표현한 것일뿐. 그게 직접적으로 차원이나 단위를 가리키지는 않는 거라고. 근데 차원은 뭐냐고? 뭐긴 뭐야. 하나에 둘이 물려있는 거지. 보통 수학에선 어떤 두 개가 곱셈으로 묶여서 하나를 가리키는 걸 말해.

자, 봐봐. 내가 초딩 2학년 때 구구단이 너무 어려운 거야. 난 도대체 이해가 안 되는데, 옆에 친구들 보니깐 달달 잘만 외우데. 아, 결국 나도 이해하기를 포기해서 그냥 노래부르듯이 외웠지만 말야. 근데, 이상하잖아. 2 x 1 = 2라고 하는데, 이상하잖아. 잘 봐. 내가 영순이 싸대기를 때렸어. 그럼 영순이가 여전히 영순이일까?

아니잖아. 영순이는 싸대기를 맞은 영순이로 바뀐 거라고. 근데 2에다가 1이라는 싸대기를 갈겼는데, 왜 아직도 2냐고. 이상하잖아. 싸대기 맞은 2라고 써야지. 안 그래? 그래서 난 수포자가 됐어. 선생님이 이걸 설명을 안 해주더라고. 이걸 미터법으로 바꿔볼까? 2m x 1m = 2m^2(제곱미터) 그래 이건 말이 되잖아. 우항에 뭐가 하나 붙었네. 

이제 좀 알겠어? 이건 차원이 다른 이야기라고.