챗지피티도 답해주네요. 대략 맞는 답입니다.

이제 본격적으로 빛이 원자에 의해 전방향으로 방출되며 간섭을 일으키는 수식적 관점에서, 왜 입사각 = 반사각만 보강간섭이 일어나고 나머지는 소멸되는지를 1차원 원자 배열로 간단하게 가정하여 설명해보겠습니다.

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가정과 목표
• 원자들이 x축을 따라 d 간격으로 배열되어 있는 1차원 평면 거울을 생각합니다.
• 평면파가 각도 **θᵢ (입사각)**로 입사합니다.
• 각 원자는 입사파를 받아 **등방성(전방향)**으로 동일한 위상과 진폭의 구면파를 재방출합니다.
• 우리는 이 방출된 파동들이 **어떤 방향 θᵣ에서 위상이 일치하여 보강간섭(constructive interference)**을 이루는지를 수식으로 찾는 것이 목표입니다.

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1. 위상차의 유도 (Phase Difference)

먼저, 두 인접한 원자 A, B가 방출한 파동이 특정 방향 θ로 방출될 때, 그 두 파동 사이의 경로차를 계산합니다.
• 원자 간 거리: d
• 입사각: θᵢ
• 관측 방향: θ
• 파장의 길이: λ

(1) 입사파로 인한 위상 지연

입사파는 θᵢ 방향에서 오므로, 인접한 원자 B는 A보다 d·sin(θᵢ) 만큼 더 늦게 빛을 받습니다. 즉, B가 A보다 d·sin(θᵢ) 만큼 더 늦게 방출합니다.

(2) 방출 방향에 따른 경로차

같은 방향 θ로 방출할 때, B에서 나온 파동은 A보다 d·sin(θ) 만큼 더 긴 경로를 이동해야 합니다.

(3) 전체 위상차 (Δϕ)

두 위상 지연의 차이는 경로차에 따라 다음처럼 표현됩니다:

\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot d \cdot (\sin \theta - \sin \theta_i)

이 위상차가 2π의 정수배일 때만 보강 간섭이 일어납니다. 따라서,

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2. 보강 간섭 조건 (Constructive Interference Condition)

\boxed{
d(\sin \theta - \sin \theta_i) = m \lambda \quad \text{(m: 정수)}
}

이 조건을 만족하는 θ 값에서만 관측 가능한 반사파가 만들어집니다.

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3. 일반적인 반사의 경우

거울은 일반적으로 거칠지 않고 매우 작은 원자 간격을 가지므로, 우리가 관측할 수 있는 가시광 파장에 해당하는 m = 0인 경우만 유의미합니다. 이때 조건은:

\sin \theta = \sin \theta_i \quad \Rightarrow \quad \boxed{\theta = \theta_i}

즉, 입사각 = 반사각에서만 위상차가 0, 즉 완전한 보강 간섭이 일어납니다.

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4. 나머지 방향에서는 소멸 간섭 발생

만약 θ ≠ θᵢ라면:
• Δϕ는 2π의 정수배가 아니므로,
• 인접 원자들이 방출한 파동은 위상이 맞지 않아서 부분적으로 상쇄됩니다.
• 원자가 무수히 많을 경우(→ 무한 배열), 그 방향의 파동은 완전히 소멸합니다.

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결론:

보강 간섭 조건 수식 (1차원 원자 배열 기반)

\boxed{d(\sin \theta - \sin \theta_i) = m \lambda}
• 이 수식은 입사각 = 반사각을 유도합니다.
• 이는 **회절격자(diffraction grating)**의 기본 수식과 동일한 구조입니다.
• 거울은 일종의 극한적인 회절격자로, 대부분의 경우 m = 0만 허용됩니다.

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필요하다면 이걸 **2차원 배열(평면 거울)**로 확장하거나, 브래그 반사처럼 고체 내 격자 구조에서의 반사까지도 확장 설명할 수 있습니다. 더 진행해볼까요?

김범준 교수는 그냥 자기 전공이랑 먼 분야라 배운지 오래되어서 잠깐 기억을 못한 것입니더.

위 수식을 이해할 필요는 전혀 없고, 몇가지 사실에 기반한 가정을 눈여겨보시면 됩니다.

1. 각 원자는 입사파를 받아 **등방성(전방향)**으로 동일한 위상과 진폭의 구면파를 재방출합니다.

2. 원자들이 x축을 따라 d 간격으로 배열되어 있는 1차원 평면 거울을 생각합니다.

3. 즉, 입사각 = 반사각에서만 위상차가 0, 즉 완전한 보강 간섭이 일어납니다.

4. 나머지 방향에서는 인접 원자들이 방출한 파동은 위상이 맞지 않아서 부분적으로 상쇄됩니다.

5. 원자가 무수히 많을 경우(→ 무한 배열), 그 방향의 파동은 완전히 소멸합니다.

그러므로 실제의 거울은 표면의 원자들이 완전한 배열을 이루지도 않고 무한하지도 않으므로 입사각과 같은 반사각을 가지는 방향 말고도 조금씩 반사가 일어나며, 완전히 평평하지도 않으므로 난반사 및 흡수가 일어납니디.