극한의 법칙을 이해하라!

『피타고라스의 정리 - 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다.』

중학교 1학년 수학 교과서에서 피타고라스의 정리를 처음 배웠을 때 이 정리를 어떻게 받아들여야 할지 몰라 어리둥절해 하며 크게 충격을 받았던 기억이 있다.

직각삼각형의 세 변이 일정한 함수관계를 가지고 있다는 사실은 알겠는데, 그것이 특별히 A²+b²=C²으로 되는 것이 우연의 일치라는 건지, 아니면 필연적으로 그렇게 되게 되어 있다는 건지 거기에 대해서는 전혀 설명이 없었던 것이다.

인터넷을 검색해보면 피타고라스의 정리는 유클리드의 증명에서부터 중국의 구고법에 이르기까지 무려 18개나 되는 증명법들이 있음을 알 수 있다. 그러나 한결같이 3:4:5의 비례를 가진 직각삼각형의 쓸모를 강조하고 수학적으로 증명하는데만 심혈을 기울일 뿐 본질적 원리를 이해시켜 주려는 노력은 하지 않는다.

고대 건축가들은 norm이라 불리는 직각자(尺)를 가지고 다녔다. 피타고라스의 정리는 원래 손쉬운 방법으로 직각을 얻기 위한 건축가들의 실용적인 목적에서 요구되었다. 사실이지 이 원리는 건축을 비롯한 여러 분야에 광범위하게 응용되고 있다.

중국의 수학자들도 피타고라스의 정리를 알고 있었다. 그러나 그들은 이를 실생활에 이용하는데만 관심이 있었을 뿐 그 본질의 파악에는 노력을 기울이지 않으므로서 학문적 발달을 이루지는 못하였던 것이다.

무한동력 원동기와 극한의 법칙

극한의 법칙은 이런 류의 판단하기 어려운 문제를 쉽게 이해할 수 있게 해 준다. 더 확장하면 비행접시의 존재라든가 혹은 세계 7대 불가사의니 뭐니 하는 것들이나, 생태계의 진화원리나, 외계인의 존재여부나 이런 판단하기 어려운 알쏭달쏭한 문제들을 쉽게 판단할 수 있도록 도움을 준다.

극한의 법칙은 변수들 중 하나 혹은 둘을 극단적으로 축소하거나 확대하여 보는 것이다. 예컨대 지금까지 인간이 생각해낸 많은 종류의 무한동력 원동기들은 대부분 특정한 숫자의 기어나 바퀴나 날개를 가지고 있다.

반면 시계장치는 단 한 개의 추에 의해 본질에서 통제되고 있다. 그 무한동력 원동기의 핵심부품이 되는 기어나 혹은 날개(arm)의 숫자가 5개이든, 12개이든 임의의 숫자를 가지고 있다면 그 원동기는 100프로 가짜이다.

구조론이 요구하는 바 시계의 복잡한 톱니바퀴가 단 하나의 추에 의해 조정되듯이, 또 자동차의 엔진이 원래는 단 하나의 피스톤과 실린더로 출발하듯이, 건전지의 두 극이 단 하나의 플러스와 마이너스를 가지듯이 그것이 진짜라면 그 기기장치의 가장 핵심이 되는 최초의 동작유발체는 단 하나 뿐이어야 한다.

반대로 그 무한동력원동기의 핵심이 되는 동작유발체의 숫자 -그것은 보통 톱니바퀴이거나, 추이거나, 팬 모양의 날개(arm)이다.- 를 단 하나로 줄여보는 방법으로 그 기기장치의 진위를 쉽게 판별할 수 있다.  

여기서 임의의 수로 이루어진 구조체의 크기를 같은 비례로 늘이거나 줄여도 그 구조체의 속성은 변하지 않는다. 극한의 법칙에는 이러한 수학적 비례의 원리가 적용되고 있다. 역으로 어떤 구조체이든 비례의 원리를 적용하여 극단적으로 단순화시켜 보는 방법으로 그 구조체의 본질을 파악할 수 있다.  

과학의 본질은 재현가능성에 있다.

과학과 비과학을 구분짓는 선은 재현가능성의 여부에 있다. 다른 장소, 다른 시점의 동일한 조건에서 재현이 되어야 하며 재현에 성공하지 못하면 그것은 과학이 아니다. 이것이 과학의 본질이다. 극한의 법칙을 이용하면 피타고라스의 정리를 동일조건에서 다른 형태로 손쉽게 재현해 낼 수 있다.

직각삼각형의 세 변을 이루는 선분들은 임의의 길이를 가지고 있다. 여기서 직각삼각형의 세 변의 길이를 1로 단축시키거나 혹은 무한히 확대해 보므로서 직각삼각형의 속성이 되는 비례관계의 원리를 판단할 수 있다.

1²+∞²-1=∞²이 된다. 직각삼각형의 세 변 중 한 변의 길이를 1로 축소시키고, 나머지 두 변은 무한대에 가깝게 확대시킨다 치자. (A²은 1²=1)+(b²-1=∞²-1=∞-1)=(C²=∞²=∞)가 된다. 즉 선분 A는 1이고, B는 무한대 보다 1이 작은 크기이고, C는 무한대가 되는 것이다.

여기서 A가 1일 경우 삼각형의 형태가 이루어지기 위해서는 B가 무한대보다 1이 작아야한다. 고로 1+(무한대-1)=무한대가 된다. 이 상황을 종이 위에 실제로 작도하여 보면 더 쉽게 이해할 수 있다.

B가 무한대보다 1이 작다는 것은, 이 삼각형의 각이 너무나 좁아서 거의 직선에 가까운 형태를 가지고 있다는 것이다. A의 길이가 무시해도 좋을 만큼 짧다면 삼각형의 모양이 직선에 가까우므로 선분 B와 C는 길이는 거의 같다.

A가 무시해도 좋을 만큼 작은 상태에서 B와 C의 길이가 거의 같으므로, 제곱을 해도 역시 같을 수 밖에 없다. 이렇게 극한의 상태에서 피타고라스의 정리가 여전히 성립한다는 사실이 확인되고 있다. 이것이 극한의 법칙의 쓸모이다.