피타고라스의 정리의 비밀은 제곱에 있다.

위의 방법으로 극한의 법칙을 적용하여 A²+b²=C²의 재현에는 성공할 수 있었으나 그 원리의 파악에 이르려면 아직 부족하다. 한걸음 더 나아가야 한다. 두가지 의문이 있을 수 있다.

1) 왜 제곱의 형태로만 비례가 성립하는가?
2) 세 변 중 어느 쪽이 어떤 방법으로 다른 쪽을 규정하는가?

제곱은 선을 면으로 전환하는데 필요하다. 제곱의 형태에 한해서 비례식이 얻어진다는 것은 선이 아닌 면의 형태일 때 함수관계가 성립한다는 말이다. 그러나 직각삼각형의 세 변은 선이고 면은 감추어져 있다. 면은 도무지 어디에 감추어져 있는가?

비례식이 성립한다는 것은 두 변수 중 하나가 다른 하나를 규정한다는 말이다. 예컨대 A와 B 사이에 비례가 성립한다면 A가 증가할 경우 B도 증가해야 한다. 이때 A가 B를 규정한다고 볼 수 있다. 문제는 직각삼각형의 경우 변수가 세 개라는 점이다.

피타고라스의 정리를 재현해 보면 직각삼각형을 이루는 세 변이 일정한 함수관계를 가지고 있다는 정도는 쉽게 알수 있다. 그러나 어느 쪽이 어느 쪽을 어떤 방법으로 규정하는지는 알 수가 없다. 또 세 변은 일정한 길이를 가진 선인데 왜 제곱의 방법으로 선을 면으로 바꾸어야만 비례가 나타나는지 선뜻 이해하기 어렵다.

모든 직각삼각형은 정사각형의 집합이다.

직각삼각형은 어떠한 경우에도 직사각형의 1/2이다. 직사각형은 어떠한 경우에도 몇 개의 정사각형으로 분할될 수 있다. 곧 모든 직각삼각형은 1/2로 축소된 직사각형이며, 모든 직사각형은 작은 정사각형들의 집합인 것이다. 그렇다면 모든 직각삼각형은 정사각형의 확대, 변형된 형태라 할 수 있다.

1) 직각삼각형은 1/2로 줄여진 직사각형이다.
2) 직사각형은 정사각형들의 집합이다.
3) 고로 직각삼각형은 정사각형들의 집합이다.

수학의 본질은 비례에 있다. 비례란 동일한 조건으로 확대 혹은 축소해도 그 구조체의 본질은 변하지 않는다는 원리이다. 즉 4/8는 2/4이며 2/4는 1/2가 된다. 여기서 4/8에서 1/2로 확대해도 그 비 자체는 변하지 않는다.

마찬가지로 직각삼각형을 2배 확대하면 직사각형이 되고 직사각형은 다시 몇 개의 정사각형으로 분할될 수 있으므로, 직각삼각형을 몇 개의 정사각형으로 분할해도 그 비는 본질에서 변하지 않는다.

이상과 같은 비례원리를 이용하여 모든 직사각형은 정사각형으로 변환시킬 수 있다. 여기에다 극한의 법칙을 적용하여 가로 세로 1의 크기를 가진 정사각형을 구할 수 있다. 위와 같은 과정을 거쳐 극소화된 즉 가로 세로 1의 크기를 가진 정삼각형의 세 변의 비례를 확인해 보면 피타고라스의 정리를 근원에서 이해할 수 있다.   

1의 제곱은 과연 1인가?

이 모든 의문의 바탕에는 1의 제곱은 왜 1인가 하는 근본적인 의문이 깔려있다. 1은 제곱을 해도 1이고 제곱근을 구해도 역시 1이다. 즉 제곱하거나 환원해도 크기가 변하지 않는다. 그렇다면 무언가 숨겨져 있다.

피타고라스의 정리 역시 문제의 본질은 ‘제곱이란 과연 무엇인가?’에 있다. 제곱은 곧 선에서 면으로의 전환이다. A²+b²=C²은 선1²+선1²은 면2와 같다는 것이다. 즉 □+□=□□가 된다. 즉 1+1=2인 것이다. 그러므로 A²+b²=C²는 면A+면B=2면이 된다.

모든 삼각형은 면으로 되어 있다. 면은 선의 제곱으로 되어 있다. 피타고라스가 말하는 ‘제곱’은 곧 면을 의미한다. 고로 A²+b²=C²이라는 공식은 면A+면B=2면으로 대체되어야 한다.

우리는 면이라는 개념을 잘못 이해하고 있다. 정확히 말하면 면이 아니라 각이다. 직각삼각형의 세 변을 이루는 선분 A, B, C의 맞은 편에 있는 각이 그 선분의 각이다. 즉 각A+각B=각C인 것이다.

삼각형의 내각의 합은 180°이므로 직각삼각형의 가장 긴 변을 이루는 선분 C의 각은 90°이다. 나머지 두 각의 합도 90°이다.

그러므로 A²+b²=C²는 각A+각B=각C로 대체되어야 한다. 여기서 드러난 사실은 우리가 면이라고 부르는 것은 실은 적절하지 않은 개념이며 각이 정확한 사실을 반영하고 있다는 점이다.

결론적으로 직각삼각형의 세 변이 A²+b²=C²이 되어야 하는 필연적 이유는 빗변 C의 값이 90°로 항상 일정하기 때문이다. 빗변 C의 값이 언제나 90°이므로 나머지 두 변 A와 B의 합이 90°이 되어야 한다.

수학의 본질은 비례다. 비례는 두 변수 A와 B 중 하나가 증가하면 거기에 연동되어 다른 하나도 증가하거나 감소해야 한다는 것이다. 즉 A와 B는 상호규정되고 있는 것이다. A가 증가하면 B가 감소하고 B가 증가하면 A가 감소하는 것이다. 그렇게 되어야만 하는 필연적 이유는 C의 값이 항상 90°로 고정되어 있기 때문이다.