https://ko.wikipedia.org/wiki/0%EC%9C%BC%EB%A1%9C_%EB%82%98%EB%88%84%EA%B8%B0 (위키백과)

위키백과의 설명이 아예 틀린 것은 아닌데, 원리는 뭉뚱그리고 결과의 사례만 나열해서 문제가 있다. 뭐 위키가 하루이틀 이런게 아니라 이해는 된다만. 그래도 찬찬히 읽어보면 수학자들이 장님 코끼리 만지듯 고민한 흔적들이 여기저기서 보인다. 구조론의 이득은 이런 수학자들에게 원리를 제시하는 것이다. 어떤 사람은 별것도 아닌 걸로 시비튼다고 생각하겠지만, 별거 아닌 게 아니다.

세상의 모든 것은 계층이 있다. 그런데 무려 계급을 없애는 걸 수학의 대원리로 삼고 있으니 그게 바로 곱셈이요, 구구단이다. 그리고 이전 글에서 밝힌 것과 같이 나눗셈도 마찬가지다. 무차원(단위) 연산을 하고 있다는 말이다. 

수학에는 나눗셈의 공공연한 비밀인 "0으로 나눌 수 없다"이 있다. 보통은 초딩 때 이걸 배우기는 하는데, 선생님도 이유를 잘 모르니 학생들도 그냥 "불능, 규칙, 피자는 0개로 나눌 수 없다" 정도로 이해하고 넘어간다. 물론 진실은 그런 게 아니다. 

재밌는 것은 고딩이 되면 다시 0으로 나누는 게 등장한다는 것이다. 미분의 "lim Δx->0"으로 나누는 거 말이다. 물론 0으로 나눈다고는 하지 않는다. 0에 한없이 가까운 수로 나누어 비율을 구한다고 한다. 이게 뭔 개소리야? 수학자들도 개소리인 게 찔렸는지 limit 라고 특별 표현을 써주신다. 

자, 여기서부터 인류의 비극이 시작된다. 물리학자들이 확률을 이해 못해서 다중우주를 상상하는 바보짓을 하는 것과 같이, 수학자들도 무한을 이해하지 못해 힐베르트 호텔에 낚이는 것이다. 물론 힐베르트 호텔이 나름 의미가 있긴 하다. 자세한 건 이따가. 암튼 그냥 차원을 말하면 되는데, 차원을 말하지 못해서 lim Δx->0이라는 반수학적 개념을 꺼내든다. 점점 작아진다고라? 분명하게 딱 떨어지자고 수학을 만들었는데 점점, 어쩌고? 하여간 잘 모르겠으니 대충 덮자는 거지.

당연히 학교에서는 선생이고 학생이고 나눗셈과 미분이 같은 것이라는 것도 모른다. 자, 내가 미분은 2차원(이상의) 나눗셈이라고 했다. 어라, 2차원에서는 0으로 나누네? 여기서 생각해보자. 왜 0으로 나누는 것을 2차원에서는 허용하고 1차원에서는 불용할까? 이유는 간단하다. 2차원을 0으로 나눠서 1차원을 만들었기 때문이다. 이미 0으로 나눴으니 또 할 수는 없다. 대개의 수학자는 그렇게 생각하지 않겠지만, 자연수라는 게 이미 1차원을 전제한 개념이다.(0차원이라고도 말할 수도 있다.)

한편 "미분은 0으로 나누는 게 아니라 변수로 나누는 거 아냐?"라고 물을 수 있겠다. 이걸 이해하려면 "lim x->0"이라는 표현을 먼저 이해해야 한다. 이건 그래프를 보면 쉽게 이해할 수 있다. 

미분이란게 원래 변수들 사이에 어떤 비율(기울기)을 구하려고 하는 것이다. 1차 함수는 쉽다. y = 2x 같은거. y가 x의 2배네. 문제는 y = x² 같은 거다. y는 x 제곱배? 이건 말하기 어렵다. 그걸 말하려고 쓰는 도구가 극한이고, 미분이다.

여기서 "lim Δx -> 0"의 의미는 위치는 있고 양은 없다는 것이다.(Δ(델타)는 수학에서 작은 차이를 의미) 저 위의 그래프를 보라, 위치는 있잖아.(h=4) 그래, 미분에서 위치는 의미가 있고 값은 의미가 없다.(x에 값 대입해서 기울기 구해보면 뭔 말인지 쉽게 이해할 거.) 둘이면서 동시에 하나인 것, Y형태의 가지가 바로 포지션이다. 

사실 내가 말하려는게 코시의 입실론델타논법이다. 해석학의 근간 말이다. https://namu.wiki/w/%EC%97%A1%EC%8B%A4%EB%A1%A0-%EB%8D%B8%ED%83%80%20%EB%85%BC%EB%B2%95

근데 이거 어디서 많이 들어본 거다. 어디긴 뭐야, 구조론이지. 포지션이다. 방석은 있고 엉덩이는 대기 타고 있다는 그 말.

그래, 이런 거 말하기 쉽지 않다. 수학자들의 고충도 이해는 된다. 0차원 자연수나 쓰던 시대니 차원을 표현하는 불능이다. 차원이 없으면 포지션을 말하기는 불가능. 근데 지금은 선형대수학을 쓰는 21세기이므로 이런 변명은 통하지 않는다. 또 재밌는 것은 위키 작성자가 저도 모르게 무려 이런 걸 언급한다는 거. 2원수(일종의 벡터)에서는 정의가 된다거나, 뜬금없이 극한이 등장하는 거 말이다. 

내 글이 이해가 된다면, 위키가 왜 저렇게 작성되는 지 이해가 된다. 사실이지 해석학의 모든 것이 하나로 연결된다. 이게 구조론의 힘이다. 그리고 힐베르트의 입장도 납득이 된다. 힐베르트는 포지션을 말하고 싶었던 거다. 방이 하나면 투숙객도 하나인게 아니라, 예약을 하면 10명도 들어갈 수 있다는 거 말이다. 그게 구조론에서 말하는 시간이요 계층이자 포지션이다. 근데 괜히 무한이라는 말을 들으니 사람들이 쫄게 되는 거.

무한이 나름 의미가 있지만, 무한은 무한반사로써 의미가 있을뿐, 미분의 본질은 아니다. 제논의 역설이 무한반사의 오류이듯이 무한은 0차원에서만 의미가 있으며 그것은 교착이다. 하지만 미분이 다루는 것은 교착이 아니라 비교착이다. 대칭이 아니라 비대칭이다. 0차원이 아니라 0차원을 품은 1차원이다. 무한에 홀리면 영화 곡성의 진범을 찾지 못 한다. 인물들은 서로 무한히 비추기만 할뿐이기 때문이다. 누구도 비추지 않는 것을 찾아라. 그렇게,

누군가는 설국열차를 폭파시켜 외부로 나아가야 한다. 설국의 빙하기가 끝나는 것은 외부의 태양에 의한 것이다. 어떤 내부에서 다른 내부를 보는 것이 아닌, 외부의 관점에서 내부를 들여다보자는 게 미분이라는 도구의 본질이다. 미분 전후의 수학은 완전히 다른 차원이다. 초딩에서 대딩으로 관점이 점프한다. 차원을 이해하면 미분은 초딩 3년만 되어도 이해할 수 있다. 이해하지 못하는 자들의 궤변에 놀아나지 말고 모든 것을 하나로 꿰는 원리를 이해하라. 솔직히 너도 미분 처음 볼 때 이게 나눗셈과 뭐가 다르지? 라고 의문을 품었을 거 아니냐.

뉴턴이 시간 t로 변화를 미분했고, 아인슈타인은 시공간을 말했고 구조론에서는 그것을 신이라고 가리킨다. 시간이나 시공간을 두고 신이라고 말하니 어이가 없겠지만, 좀더 생각해보라. 그게 그거다.