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이런 거 어디서 한 번씩 보셨을 겁니다. 일전에 어떤 분이 튜링의 정지문제와 관련하여 질문주셨는데, 답변이 많이 늦었습니다. 제대로 답변하려면 연구를 좀 더 해야 하는 상황이었거든요. 이 문제를 논의하려면 다루어야 하는 이전 중간 단계가 좀 많습니다. 

계 내부가 유한하냐 무한하냐는 곧 외부가 있냐 없냐로 결정된다고 말했었는데, 이를 논하려면 현대 수학의 연산이 잘못 정의됐다는 것부터 살펴야 합니다. 우리는 "1+1=2"라고 하고, 1과 2는 자연수라고 하는 정도로 쉽게 기성 정의를 받아들입니다만, 구조론에 의하면 앞의 1과 뒤의 2는 계층이 다른 숫자입니다. 우리가 이걸 같은 계층이라고 말하는 이유는 이퀄이 잘못 쓰이기 때문입니다. 정확히는 이퀄이 아니어야 합니다. 굳이 말하면 "=>"이 좀 더 어울립니다. 연역을 표현해야 하기 때문입니다. 

20세기초에 괴델, 처치, 튜링, 비트겐슈타인, 러셀, 힐베르트, 존 폰 노이만 등이 고민했던 점이 이겁니다. 이발사의 역설이라고도 하죠. 현대 컴퓨터 공학에서는 순환(자기) 참조의 오류라고도 할겁니다. 논리학에서는 순환논증의 오류라고도 하고요. 21세기를 사는 우리에게 순환논증의 오류는 별거 아니지만, 당시 사람들에게는 충격이었습니다. 수학에서 실수의 정의를 보면 알 수 있듯이, 수는 만민이 평등하지 않습니다. 체계가 있죠. 

무한이 나오는 과정을 봅시다. 1/3=0.333... 이죠. 제 주장은 여기서 위하감을 느껴야 한다는 걸 말합니다. 좌항의 1 나누기 3의 서술법으로 우항의 0.333...과 동치(이퀄)라는 건 무리라는 거죠. 이퀄은 좌항과 우항을 가리지 않습니다. 우항은 부모고 좌항은 자식인데, 부모는 자식이나 그 조상으로, 자식은 부모나 자손으로 설명해야 하지만, 현대 수학은 부모와 자식을 구분하지 않습니다. 현대 수의 체계는 사건을 기준으로 연역기술하지 않기 때문입니다. 게다가 좌항엔 나눗셈 연산자가 생략된 겁니다. 연산자를 생략하고선 "같다"고 하며 "무한수"라고 표현하니 모순이 생기는 겁니다. 그러니깐 학생들이 헷갈릴 만하죠.

구조론 식으로 말하자면, 현대의 수학과 언어는 그것에 엔트로피 혹은 에너지를 표현하지 않는게 문제라는 겁니다.

https://www.youtube.com/watch?v=atbkEMOkH9s&t=778s

이 동영상을 보면 "너희들이 알고 있는 건 틀렸어"라고만 말할뿐, 본질은 말하지 않습니다. 본질은 연산이나 함수의 정의 체계 그 자체의 오류입니다. 연역(자)을 써야할 자리에 이퀄이 들어간 순간 망한겁니다. 사건은 계를 말하는 것이며, 어떤 계가 있다는 것은 그 계가 아닌 것도 있다는 말이며, 둘 사이에는 계급이 있고, 방향이 있습니다. 또한 내부의 상부와 하부는 구분되어야 합니다.

가령 어떤 것이 있다면, 그것의 배경이나 바탕도 있어야 한다는 게 우리 상식입니다. 근데, 현대수학은 어떤 것을 그것으로 설명하려고 합니다. 자연수의 연산(귀납) 결과가 다시 자연수가 되는 겁니다. 그래서 꼼수로 유리수나 무리수를 만들었습니다. 이거 이러면 안 되는 겁니다. 실용성 때문에 표현하는 건 나쁘지 않은데, 수의 본질과는 멀어졌습니다. 수의 본질은 사건의 기술이며 연역이어야 합니다. 

이 부분을 다룬게 이른바 결정문제이며, 결정문제를 설명하는 과정에서 나온 개념이 정지문제이며, 정지문제는 쉽게 말하면 재귀함수의 문제입니다. 재귀식이 무한루프에 빠지는 이유는 함수가 지가 싼 똥을 다시 먹기 때문입니다. 이른바 자기 참조의 오류죠. 이걸 막으려면 정지 규칙을 정해야 합니다. 이때 규칙을 함수가 스스로 정할 수 있느냐를 따져보자는 거죠. 

당연히 스스로는 해결할 수 없습니다. 이는 문제가 있는 개가 스스로 구덩이에서 빠져나올 가능성이 없는 것과 같습니다. 구조론에서 자주 언급하는 겁니다. 환경, 즉 주인을 바꿔야 개의 문제가 해결되는 겁니다. 개 자신은 내부에서 답을 찾을 수 없는 겁니다. 함수가 정의되는 계와 그것을 판단하는 계는 분리하는 동시에 또다른 함수로 연결되어야 합니다. 

결정문제에서는 이렇게 말합니다. "어떤 판정(알고리즘) 문제를 푸는 알고리즘이 있으면 그 문제는 결정 가능하다고 한다. 없으면 결정 불가능하다고 한다." 뭔가 허전하죠? 여기서 문제들은 내부와 외부의 두 가지로 갈려야 합니다. 근데 보다시피 이걸 당시 사람들은 분명하게 기술하지 않았습니다. 외부와 내부를, 상부와 하부를 따로 보는 개념이 없기 때문입니다.

이발사가 머리를 잘 깎았는지 아닌지는 타인이 판단해줘야 합니다. 자기가 깎아놓고 자기가 판단하면 이상한 겁니다. 자기 얼굴을 거울에 비춰보고 잘생겼다고 우기면, 사람들이 비웃습니다. 자뻑하지 말자는 거죠. 우리가 사용하는 언어도 이런 맥락에서 보면 뭔가 이상한 겁니다. 전제와 진술 등에 같은 체계의 문자를 사용하고 있잖아요. 구분되지 않습니다. 물론 귀찮아서 구분하지 않은 거지만, 엄정하지 않은 겁니다. 그런데도 사람들이 언어를 잘 사용하는 이유는 느낌으로 전제와 진술을 구분하기 때문입니다.

그리고 심심하신 분들은 아래 링크를 읽어보시면, 구조론이 문제 삼는 지점이 역사적으로 어떤 의미를 갖는지 이해할 수 있을 겁니다. "괴델의 불완전성 정리(위키)". 내용이 더럽게 복잡하지만, 나열된 모든 문제를 간단하게 해결하려면 이퀄을 재정의하면 됩니다. 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B4%B4%EB%8D%B8%EC%9D%98_%EB%B6%88%EC%99%84%EC%A0%84%EC%84%B1_%EC%A0%95%EB%A6%AC