나눗셈은 피자를 8조각으로 나누는 것이 아니라, 인간이 한번에 먹는 양으로 계량했더니 8개가 나오더라는 것이다. 여기서 중요한 것은 "계량"이다. 칼로 나누는게 아니라 입의 크기로 계량한다.

움직이는 자동차가 있다. 움직인 거리를 시간으로 미분하면 속도가 된다. m/s라고 한다. 그런데 기호에는 나눗셈(/)을 쓰고선 왜 말은 미분한다고 하는가? 고등학교 때 수학책에는 미분은 나눗셈과 다르다고 배웠다. 미분을 처음 배우면 이게 나눗셈과 뭐가 다른지 의문이 생긴다. 얼핏 보면 나눗셈 같은데 가만 보면 나눗셈과는 뭔가 다르다. 그래, 여기에 뭔가 있다. 숨은 전제 말이다.

문제는 거리다. 당신은 속도(velocity)와 속력(speed)의 차이를 아는가? 보통은 방향이 있는 것을 속도라고 알고 있을 것이다. 근데 이 말 제대로 이해하는 놈 있냐? 너 솔직히 저게 속력과 무슨 차이가 있는 지 말할 수 있나? 책을 보니 속력은 거리를, 속도는 변위를 쓴단다. 거리는 뭔지 알거같고, 변위만 알면 되겠네. 변위는 뭔가? 벡터다. 슬슬 감이 온다. 그럼 거리는 스칼라 되겠다. 아하. 

속력은 스칼라적 개념이고 속도는 벡터적 개념이네. 

근데 속도에는 왜 방향이 있나? 벡터가 방향이 있기 때문이다. 벡터는 왜 방향이 있나? 2차원을 다루기 때문이다. (수학에서는 1차원이라고 한다) 좌표 작대기가 두 개인 것을 두고 2차원이라고 한다. 방향이라고 쓰고 차원이라고 읽어라.

속도는 2차원에서의 어떤 양이네.

요런 거 말이다.

x와 y라는 두 좌표에 의해 어떤 하나를 표현하면 벡터라고 한다. 뭐 이런 게 어지럽다면 더 쉬운 걸로.

이러면 좀 쉽다. 굳이 이 그림을 가져온 이유는 세상의 모든 것은 스칼라가 아니라 벡터라는 걸 말하고자 함이다. 스칼라는 초딩들이나 쓰는 거고, 고딩쯤 됬으면 벡터로 세상을 이해해야 한다. 구구단에 단위를 쓰지 않는 것이 편의를 위한 것이듯, 스칼라는 편의에 의한 것이지, 자연의 진실은 아니다. 

벡터에는 방향이 생긴다. 원점이 있고 교차점이 있으면 그걸 수학에서는 방향이라고 한다. 반면 스칼라는 방향이 없다고 말한다. 원점이 있으니 방향이 있을 것 같지만, 수학에서는 안 쳐준다. 오늘은 방향이 포인트가 아니니 그냥 넘어가도 좋다.

미분과 나눗셈을 구분하려면 반드시 차원을 논해야 한다. 나눗셈은 스칼라 세계에서 쓰는 것이고, 미분은 벡터(이상) 세계에서 쓰는 것이다. 일전에 말했듯이 단위를 쓰지 않는 구구단은 (어떻게 보면) 상당히 이상한 것이다. 사실 구구단은 스칼라 세계의 셈법이다. 벡터 세계로 올라서면 단위가 들어간다. m²같은 면적말이다. 

인간이 미분을 어려워하는 것은 미분할 때 단위를 붙여주지 않았기 때문이다. 수학자들은 옷잡고 반성해야 한다. 새끼들아 이런 걸 나같은 수포자가 나서서 설명해야겠냐? 속도는 m/s로, 가속도는 m/s² 표기하는 거 보니깐 물리학자 늬들은 저게 뭔 말인지 알 법도 한데, 왜 일반에 설명을 안 해주냐. 혹시 몰랐던 거 아니냐? 속도는 시간으로 계량하고, 가속도는 시간²으로 계량하는 것이다.

이렇게 보면 미분이 왜 계량의 방법인지 이해가 될 법하다. 미분은 차원이 있는, 혹은 2개 이상의 변수가 들어있는 어떤 양을 계량하는 방법이다. 힘을 계량하고 싶어? 그럼 시간² 으로 계량하셔. x² 을 x로 계량하면 2x가 나온다. 그럼 나눗셈은? x는 1차원을 계량한 거니깐 승수가 1이잖아. 그러므로 결과가 상수로 나온다고. 그래 사실 우리는 나눗셈 할 때마다 승수를 생략한 것이었다. 이제 좀 눈에 보인다. 근데 왜 결과에 전에 없던 상수2가 생겼을까? 원래 2제곱이였기 때문이다. 미분은 하나가 동시에 둘에 연결된, 즉 차원을 반영한다. 

x 를 x로 계량 > 나눗셈 > 원래 결과에 1을 곱해줘야 하나 편의에 의해 생략. 하나 안 하나 그게 그거 같아서 생략.

x²을 x로 계량 > 미분 > 결과에 2를 곱해줌

구구단이 단위(=차원)를 생략했듯이, 나눗셈도 차원을 생략한다. 깨봉수학이 꽤 좋은 설명이지만 무한을 자세히 설명하느라 오히려 설명이 산으로 가버렸다. 무한이 중요한 건 맞는데, 미분과 나눗셈을 비교하여 이해하는 게 먼저다. https://youtu.be/OZUCfjg53Cw

미분에 무한이 사용되는 이유는 1이면서 동시에 2인 것으로 계량해야(나누어야) 하기 때문이다. 양은 없고 포지션은 있는게 lim->0 이다. Y 말이다. 나뭇가지처럼 생긴 놈을 표현해야 하는데, 인간이 생각해낸 방법이 무한이다. 이게 왜 무한이 되는지 궁금하다면 이 게시판에 필자가 과거에 쓴 글을 참고하라. https://gujoron.com/xe/?mid=gujoron_board&page=2&document_srl=1424550 무한이라는 말에 현혹되지 말고 차원에 집중해야 한다. 원래 모든 계량은 차원으로 하는 것이다. 됫박 차원, 미터 차원, 킬로그램 차원 등등이 있다.

중요한 것은 나눗셈과 미분이 같다는 것을 이해하는 것이다. 학교에서는 다르다고 말하겠지만, 여기는 구조론연구소가 아닌감. 세상 모든 것을 구조 하나로 퉁쳐야 한다. 

그러므로 나는 "나눗셈은 1차원적(변수가 하나뿐인) 미분이다."라고 말한다. 혹은 "미분은 2차원 나눗셈이다." 모든 의혹은 풀렸다. 학교는 이런 걸 초딩부터 가르쳐야 한다. 초딩정도면 구구단이 이상한 것을 느낄 수 있기 때문이다. 2 곱하기 1은 2가 말이 되냐? 어이가 없잖아.

떨어지는 사과의 가속도를 계량하라. 속도가 아닌 힘이 나온다. 중력말이다. 변수가 하나가 아니라 둘 이상이다. 시간은 뭐냐고? 그건 그냥 잊으셔. 뉴턴이 대충 정한 거니깐. 거북이와 아킬레스를 계량하라. 나눗셈으로 보면 속력은 아킬레스가 빠를 수 있다. 그런데 힘은 거북이가 더 좋을 수도 있다. 거북이가 1톤 짜리일 수도 있잖아. 그것은 미분해야 보인다.