지금은 사그라들었지만 20세기 초에는 수학 기초론에 대한 논쟁이 꽤 있었다. 시끄러운 시대의 분위기에 맞춰 수학자들도 체면을 세우려면 거대한 합의를 해야 했다, 또 그런 압력이 존재했다. 수학의 발전은 충분히 무르익었으니 이제 '완벽한 수학'으로 결판을 내야 한다고 믿는 사람들도 적지 않았다.

이 때 수학철학적 논쟁이 시작되었는데 이의 여러가지 입장 중에 형식주의와 직관주의를 대칭적으로 바라보고자 한다. 

형식주의는 무엇이 '진정한 진리'인지는 중요하지 않고 단지 수학에 모순이 없으면 된다는 입장이다.

이는 "이놈을 찍으나 저놈을 찍으나 똑같다"는 말처럼 들린다. 이 말은 결국 기존 체계를 유지하는 입장으로 이어진다.

직관주의자는 수학은 수학자의 마음에 의해 창조되는 것이라는 말을 내세운다. 그리고 그 마음이 거절하는 여러가지 수학적 장치를 없애고 그 대안을 만들어야 한다고 주장한다.

직관주의의 일부는 칸토어의 무한집합에 대한 반동으로 나타난 것이다. 무한집합이 개발되자 수학자들은 유한집합의 여러 원리를 일반화하여 공리로 만들어서 무한집합에 적용하였다. 이러한 것을 직관주의자는 싫어했다. 또 그들은 논리학의 배중률을 수학에 적용하는 것을 거부한다. 즉 모든 수학적 문장이 참 혹은 거짓인 게 아니라 참도 거짓도 아닌 문장이 존재할 수 있다는 것이다.

직관주의자들의 주장은 한마디로 "함부로 일반화하지 마라"는 것이다.

직관주의자는 많은 수학적 유용함을 버리려고 한다는 비판을 받지만 직관주의자도 수학적 일반화가 매우 유용하다는 것은 인정한다. 문제는 그러한 일반화가 부지불식 간에 이루어졌다는 것이다. 즉 범위를 정하지 않고 일반화를 했다. 즉 적용 범위가 무한하다는 뜻이다. 이러한 것을 직관주의자는 매우 불쾌하게 생각한다. 마치 엄격한 시니어 프로그래머와 같다. 또 직관주의자들 중 일부는 극단화되어 아예 무한을 부정하는 유한주의를 주장하기도 했다. 나는 생각한다. 수학자는 현실의 지독한 무한에서 도피해서 수학의 세계로 왔건만 직관주의자는 수학에서도 무한을 발견하고 또다시 어디론가 도피하는구나.