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김동렬자유게시판 kilian님의 글을 가져옵니다.
수학자 칸토어는 대각논법으로 어떤 무한은 다른 무한보다 더 크다는 것을 증명했고, 무한의 종류 역시 무한하다는 것을 보였습니다. 무한이라는 개념은 현대물리학에서 필수적인 개념입니다. 그러나 이 가정은 검증된 적이 없습니다. 물리학에서 무한 개념은 “무한대” 와 “무한소” 의 두가지 측면에서 사용됩니다. 무한대는 우주의 부피와 시간의 흐름, 그리고 우주에 존재하는 입자의 갯수를 이야기할 때 사용됩니다. 무한소는 어떠한 작은 공간도 다시 무한히 많은 점으로 나눌 수 있다는, 곧 연속의 개념을 이야기할 때 사용됩니다.
이 두 개념은 빅뱅이론을 통해 연관되어 있습니다. 빅뱅이론의 가장 간단한 설명은 연속된 공간을 무한히 큰 부피로 늘여가는 것입니다. 빅뱅이론은 노벨상을 수상했으며 많은 성공적인 결과를 낳았습니다. 그러나 올바른 물리학 이론이라면 반드시 가능해야할, 미래를 예측하는 문제에 이르면 빅뱅이론은 무한대를 무한대로 나누어야 하는 계산에 맞닥뜨리게 되며 쓸모없는 결과만을 내놓게 됩니다. 나는 빅뱅이론이 비록 이 이론의 성공에도 불구하고 무한대라는 개념을 제외하고 새로 쓰여져야 한다고 생각합니다.
과거 뛰어난 수학자들은 일찌기 무한대와 연속이라는 개념에 우려를 나타냈습니다. 가우스는 무한의 존재를 부정했으며 “무한은 그저 말 뿐인 개념”, 그리고 “나는 무한이라는 개념이 하나의 대상으로 사용되는데 반대한다. 수학에서 그런 일이 절대 일어나지 않을 것이다.”라고 말했습니다. 물론 지금까지 물리학에서 무한 개념이 사용된데에는 이유가 있습니다. 만약 우리가 기체의 특성을, 이를 구성하는 입자들 하나하나의 운동으로 해석하려 한다면 우리는 상상할 수 없이 복잡한 문제를 풀어야 할 것입니다. 우리는 기체가 연속이라고 가정함으로써 아름다운 수식들을 유도했고 비행기를 날렸으며 날씨를 예측할 수 있게 되었습니다.
그러나 이러한 편리함에도 불구하고 기체는 연속적이지 않습니다. 이는 공간과 시간이라는 대상 역시 마찬가지 입니다. 만약 공간이 정말 연속이라면, 우리는 두 입자의 정확한 거리를 묘사하기위해 무한히 많은 정보를 사용해야 합니다. 그러나 현실에서 물리학자들은 소숫점 17자리 이상을 다루어 보지 않았습니다. 우리는 이들이 무한하다는 증거가 없을 뿐만 아니라 실제로 이들을 예측하기 위해 무한함의 개념을 필요로 하지도 않습니다.
오늘날 우리는 유한한 컴퓨터의 자원으로, 모든 대상이 유한하다는 가정하의 시뮬레이션으로 우주의 형성과 입자의 질량을 계산하고 있으며, 이 ‘유한’ 가정 하에서 바로 다음 어떤 일이 벌어질지를 계산할 수 있습니다. 사실 자연은 우리보다 훨씬 간단한 방법으로 바로 다음 어떤 일이 벌어질지를 계산해서 우리에게 보여주고 있습니다. 이제 물리학자들이 해야 할 일은 자연이 하고 있는것과 같은, 진정한 자연의 법칙을 발견하는 일입니다. 이를 위해 우리는 무한 개념의 필요성을 먼저 따져보아야 합니다. 그리고 나는 이것이 필요없을 것이라고 확신합니다.
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그런 거 없다. 적어도 실수 집합 안에서는. 실수에서의 무한대란 개념이 교과서에 처음 등장하는 것이 고교과정 수학의 미적분1의 수열의 극한 단원이다. 그런데 이 부분이 오해하기 워낙 쉬운 단원이다 보니, 무한대에 대한 온갖 오해를 갖게 된다. 배우기 이전에도 무한대에 대한 자연스럽지만 엄밀하지는 못한 생각을 막연히 갖고 있기도 했을 것이고.
고교 과정 수학의 수열에서, "이 무한히 커질 때, ...", "양/음의 무한대로 발산한다"는 표현 등이 큰 오해를 일으키고 있다[1]. 무한대가 쓰이는, 이런 용례에서 흔히 무한대가 실재하는 것, 혹은 동적 개념으로 이해하지만 전혀 그렇지 않다. 그렇다고, 무한히 커진다는 표현이나, 무한대로의 발산이 모호한 개념인 것은 아니고, 명확하게 정의된다. 다만, 그 정의가 고교 수준에서 소개할 것은 아니고, 한 눈에 직관적 정의와 부합함을 알기는 어렵다.[2] 해석학을 엄밀화하려는 시도가 무한대, 무한소가 실재한다는 사고 때문에 일어났고[3], 해석학은 이 둘을 몰아내는 방향으로 엄밀화되었다.[4] 따라서 무한대는 어떠한 상태를 일컫는 말도 아니고, 실수도 아니다. "무한대"란 "단어"가 들어가는 표현은 관용적인 표현으로 봐야한다.
이것이 표준적이고 가장 먼저 갖춰야 할, 엄밀한 내용이다. 후술할 초실수와 해석적 접속#[5] 등 무한대를 직관에 더 가깝게 다루려는 결과물들이 있다. 그러나 이것들이 무한대를 몰아낸 업적이 잘못되었다는 것을 이야기하지 않는다.
현재에도 무한급수의 계산에서 나오면 피 토하는 수학자 및 물리학자들이 많다. 엘러건트 유니버스의 저자 가라사대, 무한대는 네 이론이 잘못됐다고 신이 내리는 회초리라고. [나무위키]
고교 과정 수학의 수열에서, "이 무한히 커질 때, ...", "양/음의 무한대로 발산한다"는 표현 등이 큰 오해를 일으키고 있다[1]. 무한대가 쓰이는, 이런 용례에서 흔히 무한대가 실재하는 것, 혹은 동적 개념으로 이해하지만 전혀 그렇지 않다. 그렇다고, 무한히 커진다는 표현이나, 무한대로의 발산이 모호한 개념인 것은 아니고, 명확하게 정의된다. 다만, 그 정의가 고교 수준에서 소개할 것은 아니고, 한 눈에 직관적 정의와 부합함을 알기는 어렵다.[2] 해석학을 엄밀화하려는 시도가 무한대, 무한소가 실재한다는 사고 때문에 일어났고[3], 해석학은 이 둘을 몰아내는 방향으로 엄밀화되었다.[4] 따라서 무한대는 어떠한 상태를 일컫는 말도 아니고, 실수도 아니다. "무한대"란 "단어"가 들어가는 표현은 관용적인 표현으로 봐야한다.
이것이 표준적이고 가장 먼저 갖춰야 할, 엄밀한 내용이다. 후술할 초실수와 해석적 접속#[5] 등 무한대를 직관에 더 가깝게 다루려는 결과물들이 있다. 그러나 이것들이 무한대를 몰아낸 업적이 잘못되었다는 것을 이야기하지 않는다.
현재에도 무한급수의 계산에서 나오면 피 토하는 수학자 및 물리학자들이 많다. 엘러건트 유니버스의 저자 가라사대, 무한대는 네 이론이 잘못됐다고 신이 내리는 회초리라고. [나무위키]
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나무위키는 무한이 없다는뎅
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하여간 이런건 수학자들간에 합의할 일이고 구조론으로는 일단 공간이라는게 없기 때문에 무한을 부정하는 특정한 크기는 원래 없다. 수는 공간을 측정하는 건데 공간이 없으므로 측정도 없는 것이며, 오직 운동을 설명하는 비례만이 있는 것이고, 비례는 이게 이렇게 되면 저게 저렇게 된다는 것인데, 맨위 인용한 기사원문에서 주장하는 엄밀한 크기는 있으면 안 되는 것이다. 무한은 방향으로 보면 되는데 방향은 당연히 있다. 더 이상 깊이 들어가는건 수학자들이 합의할 문제이고 구조론에서 무한은 크기가 아니라 방향이다. 무한은 크기가 아니므로 무한 속에 무한을 무한히 집어넣는다든가 하는 말은 필요없는 거다. 그런데 방향 속에 방향을 방향히 집어넣을 수는 당연히 있다. 우주 안에 어느 위치에 있다는건 구조론적으로 없다. 구조론은 단지 확산방향이냐 수렴방향이냐만 논하는 것이며 둘다 무한이다. 무한확산 그리고 무한수렴이다.
◎ 틀린 생각.. 서울은 북위 몇도 동경 몇도에 있다.
◎ 틀린 생각.. 눈금 1에서 1만큼 가면 2다. 우주공간은 진동하고 있으므로 어떤 위치라는 말은 불성립이다. ### 구조론을 이해하는 기본은 그것이 그것이다입니다. 알고보니 자기장이 전기장이더라. 알고보니 질량이 에너지더라. 이런 식으로 다른 것을 같은 것으로 합쳐나가는 과정이 과학이다. 구조론은 천하만물이 다 같은 뿌리에서 나온 하나인데 상호작용의 형태만 바꾸었다는 말이다. 그러므로 공간이 물질이고 물질이 에너지고 따라서 공간은 없는 것이다. 에너지는 방향이 있을 뿐이다. |
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kizuna
일반상대성이론의 결론: 시간 = 공간 = 물질 = 에너지