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[레벨:15]이금재.
read 824 vote 0 2020.02.28 (21:02:35)

1) 기초적인 의미에서 벡터는 도형이 아니라 방향과 크기로 결정되는 양으로 정의한다. 물론 이것조차도 수학적으로 엄밀한 정의는 아니다. '방향'과 '크기'로 정의하는 것은 '물리학'적인 의미에 가깝다.(중략) 2) 수학에서는 그저 '벡터 공간'(Vector space)[2]의 원소가 바로 벡터다.(중략, 나무위키 벡터 항목)


방향은 소속이고, 크기는 관측자를 의미한다. 그것의 소속이 질이며, 그것의 크기(양)는 관측자인 나에 의해 상대적으로 규정되는 것이다. 1)의 물리학적 정의는 대상에 집중한 표현이고, 2)의 수학적 정의는 대상의 소속, 즉 집합-원소 관계에 집중한 표현이다. 


구조론과 선형대수.jpg


이러한 1)번과 2)번의 차이를 그림으로 나타내면 위와 같다. 그림에서 c는 1번에서는 선으로 나타나지만 2번에서는 점으로 나타난다. 둘은 같은 것이다. 다만 서로 다른 관점에서 바라보므로 표현이 달라진 것 뿐이다. 선과 점을 다른 것이라고 생각할 수 있지만 추상적으로 보자면 점과 선은 그 자체만으로는 구분할 수 없다. 그것의 전후 정보로만 표현 가능한 것이다. 


가령 우리는 나를 나로 설명할 수 있다고 생각하지만, 실로 인간이 어떤 사람을 판단에 사용되는 것은 그 사람의 소속과 궤적이다. 친구는 누구인지, 직장은 어디인지, 배우자는 누구인지로 그 사람의 소속을, 그 사람의 활동 정도를 보고 그사람의 궤적을 판단한다. 궤적이 헷갈릴 수 있지만 이는 에너지의 양을 판단하는 것이라고 보면 된다. 소속이 질이라면 양은 개인의 느낌이다. 느낌은 대상에 대한 개인적인 것이다. 


a와 b를 c로 연결한 것이 구조이며, 존재다. "방향(외내부) + 3차원(내부) + 양(내내부)"이면 완전하다. 하나의 단위가 된다. 선형대수학의 헷갈림은 이러한 완전한 하나를 정의하지 못하기 때문에 발생한다. 가장 큰 문제는 직각의 잘못된 정의다. 두 좌표축은 직교하는 것이 아니라 무상관한 어떤 둘의 동시 성립이다. 두 조건이 동시에 만족하는 것이 좌표축이며, 공간의 정의가 되어야 한다. 


구조론에서 헷갈리기 쉬운 것이 공간과 시간이다. 우리는 절대적으로 생각하므로 공간과 시간이 바로 그 어떤 것이라고 생각하지만 구조론에서 공간과 시간은 가리키는 대상에 따라 상대적으로 성립한다. 같은 대상이라도 어디에 짝짓느냐에 따라, 혹은 위에서 아래를 보느냐에 따라 공간이 될 수도 시간이 될 수도 있다. 중첩이 시간이라면 분할은 공간이다. 문제는 수학과 물리학의 어설픈 정의이다. 


대개 시간성을 가진 것을 두고 공간이라고 표현한다. 그림에서 구조론으로 보자면 a는 시간이지만, 선형대수학에서는 공간이라고 할 것이다. 사실 선형대수학에서 시간은 아예 개념이 없다. 시공간에 대한 명확한 정의가 없으므로 공간만으로 모든 것을 설명하려다 보니 생긴 헷갈림이다. 시간은 그저 값으로만 표현될 것이다. 아예 개판이 되어버렸다. 구조론은 명확한 모델을 사용하여 시공간 개념을 바로 잡는다. 


선형대수학에서 원점의 통과를 선형성에 다루는 이유는 그것의 소속을 밝혀야 하기 때문이다. 원점을 통과하지 않으면 그것의 소속이 불분명해진다. 이는 수학적 표현의 한계이다. 수학은 a + b = c라는 방정식에서도 a, b와 c의 계층 차이를 설명하지 않는다. 엄밀하게 말하자면 a + b = C라는 식으로 계층차이를 두어야 한다는 말이다. 그래야 방향이 성립한다. 


게다가 a + b = C일때 각각의 a와 b의 크기가 성립하려면 A(이전의 a) = d + f라는 식으로 방정식이 중첩 표현되어야 한다. 우리는 편의에 의해 값을 미리 정하고 쓰지만 그것은 곧 나를 기준으로 사건을 거꾸로 탐색한, 즉 귀납적 방법이다. 값부터 정해지는 게 아니라 소속부터 정해지는게 연역이자 구조론의 정의 방식이다. 값은 가장 마지막에 정해지는 것이다.  


상상력을 키우고자 우주가 한 점에서 출발했다는 것을 상기할 필요가 있다. a와 c는 겹쳐있으므로 둘을 따로 찍을 수 없지만, ac의 외부 어떤 것에 의해 a와 c 사이에 b가 탄생하는 것이 시공간의 탄생이요, 우주의 세포분화다. 아직도 시간을 360도가 흐른 것이라고 생각한다면 뒤로가기를 눌러야 한다. 시간이 아니라 순서요 질서가 있고 그것이 인과다. 


즉 벡터를 구상한 사람도 나름 인과를 표현하고 있다고 봐야 한다. 그는 방향을 그려넣었기 때문이다. 





프로필 이미지 [레벨:13]귀타귀

2020.02.29 (08:45:31)

음수와 허수의 발견이 중요합니다

복소수에서 사원수(해밀턴)

사원수에서 벡터

벡터에서 텐서로 확장됩니다

(해밀턴이 최소작용의 원리로도 유명하지만

사원수와 행렬, 델연산자도 발명했지요)

복소수가 실수부와 허수부로 이뤄지듯이

사원수는 스칼라부와 벡터부로 이뤄집니다

텐서는 스칼라와 벡터, 행렬, 트라이애드까지 포함하구요

텐서의 성질은 좌표독립 즉 좌표에 상관없는 불변성입니다

프로필 이미지 [레벨:13]귀타귀

2020.02.29 (09:11:45)

20200229_085613.jpg


잘아시겠지만

2변수 이상의 스칼라 함수를 편미분하면 그 결과는 벡터이지요.


첨부
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