미분식에 들어있는 델타(삼각형)x 라는 게 있는데, 보통은 h라고도 표기합니다. 미분을 유도할 때 이 차이를 0으로 만들자(lim del x -> 0)는 게 바로 미분의 기본 컨셉인 "차이가 0이지만 0은 아니야"라는 것입니다. "0인 것처럼 보이지? 근데 0은 아니지롱. 근데 또 필요하면 0이야~~." "필요에 따라 차이(2를 의미)이자 1이야." 아, 골 때리네.

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고등학교 수학에서 문제를 풀고 있으면 왠지 꼼수로 문제를 풀어나간다는 생각을 지우기가 힘든데, 솔직히 '분모에 0이 들어가면 안 된다'는, 이때까지 깨뜨리면 안 된다고 알고 있었던 절대적인 명제를 '0은 아니지만 0에 한없이 다가간다'는 이도 저도 아닌 궤변으로 때워버렸다고 느낄 수도 있다. 제대로 된 접근 없이 고등학교 미적분을 현실에 응용했다가 들어맞지 않는 경우도 많다.

이는 현재의 고등학생들뿐만 아니라 미적분의 개념이 제시될 당시, 그러니까 함수와 극한의 개념이 모호해 무한소라는 개념으로 때워버렸을 당시에 많은 학자들에게도 마찬가지로 적용되었다. 그 당시 학자들은 혁명적인 개념이었던 미적분을 엄청나게 사용했고, 그러다가 미적분을 적용해서는 안 될 식에서조차 적용해버려 결국 이상한 값이 나와버리는, 한마디로 미적분 만능주의에 걸려버린 것이다. 그를 대체하기 위해 극한이 나왔지만 역시 빈틈이 많았던 건 매한가지였고 직관력에 있어 타의 추종을 불허했던 오일러 역시 활발히 극한을 사용했지만 그도 당시의 한계를 넘어서지는 못하여 무한소 개념에 대해 이견을 표시하지 않은 채 극한만 그대로 사용했다.

프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 극대-극소 문제를 해결하기 위해서 "Adequality"라는 개념을 내놓았다. "ad-"+"equality", 즉 거의 같다는 뜻으로, 극점에서 독립변수가 아주 조금 변해도, 함수값이 거의 같다는 것이다.(나무위키)

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자, 이제 제가 "극한"을 구조론에 근거하여 정의하겠습니다. 극한의 의미는 "차이 = 2, 공통 = 1의 동시성"입니다. 이게 바로 둘이 하나에 맞물린 상황이에요. 이 그림이 머리에 잘 안 떠오르면 트리나 갈림길을 생각해도 좋습니다. (참고로 극한을 정의하는 오귀스탱 루이 코시(1789-1857)의 "입실론-델타 논법"의 의미는 아주 작은(입실론)-차이(델타)입니다. 링크1, 링크2)

이제 하나도 안 헷갈립니다. 어떻습니까? 인류의 2,000년 체증이 내려가는 것 같지 않습니까? 이제야 발이 땅에 닿는 느낌이 납니다. 이 모든 것은 이걸 표현할 말이 없기 때문에 일어난 혼선입니다. 비슷한 논의는 "점 두 개를 합치면 선인가?" 혹은 "점은 크기가 있는가?"가 있습니다.

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그리고 제가 양자역학은 잘 모르기 때문에 대충 말하자면, 

'파동과 입자의 이중성'도 이러한 언어불성립에 의한 골때림 현상이라고 볼 수 있겠습니다. 수학과 과학에 관점을 도입해야 하는데 "무관점" 혹은 "무맥락"으로 대상을 객관화 하려다 보니깐 말이 꼬이기 시작한 것이죠. 위에서 내려다보면 둘인데, 아래에서 올려다보면 하나더라. 근데 그게 뭐냐? 관점이 없으니 답이 나올리가 있나. 위에서 보면 파동이고 아래에서 보면 입자야. 둘이니깐 파동이라고 하고, 하나니깐 입자라고 하는 거겠지? 어디서 보느냐 혹은 어느 차원에서 보느냐에 따라 대상의 정의가 달라지는 거라니깐. 

관측이라는 잣대를 들이대는 순간 해석이 달라지는 게 당연한 거.

"코펜하겐 해석

코펜하겐 해석은 보어(Niels Henrik David Bohr), 하이젠베르크(Werner Karl Heisenberg) 등 당대 유명한 물리학자들이 함께 만든 것으로서 양자역학에서 가장 널리 받아들여지고 있는 정통해석이다.[5] 코펜하겐 해석의 관점에서는, '관측'이 중요시 여겨진다. 즉, 관측하기 전에는 여러가지 상태가 중첩되어 존재한다. 코펜하겐 해석은 이를 확률을 의미하는 파동함수(슈뢰딩거 방정식)로 나타낼 수 있다고 한다.(좀 더 자세히 말하자면, 슈뢰딩거 방정식의 파동 함수의 제곱이 확률밀도에 비례한다고 본다.) 하지만 관측하는 그 순간 상태는 더 이상 확률이 아닌 특정한 한가지로 정해지게 된다고 주장한다. 즉, 하나의 상태는 객관적인 사실로 존재하는 것이 아니라 관측자와의 상호작용의 결과라고 주장한다.[6]

예를 들자면, 이중 슬릿 실험 결과를 해석할 때에는 있는 실험 결과를 있는 그대로 받아들여서 관측하기 전 까지는 파동이었다가 관측하는 순간 입자가 된다고 주장한다. 즉, 스크린에 도달하여 관측되기 전 까지는 파동이므로 전자(혹은 빛)는 동시에 두 슬릿을 통과할 수 있다. 좀 더 엄밀하게 말하자면, 두 슬릿을 각각 A슬릿, B슬릿으로 두었을 때 처음에 전자(혹은 빛)를 보내면 전자(혹은 빛)가 '슬릿 A를 통과 할 가능성'과 ' 슬릿 B를 통과 할 가능성'이 동시에 존재한다. 이 말을 다르게 표현하자면, 'A에 있을지도 모르는 전자(혹은 빛)'와 'B에 있을지도 모르는 전자(혹은 빛)'가 동시에 존재하는 것이다. 이는 전자(혹은 빛)의 파동성을 의미한다. 이후 스크린에 도달하여 관측이 되면 그제서야 입자가 된다는 것이다."(한국어 위키 중)

불확정성 원리도 비슷한 맥락

양자역학의 물리적 의미를 해석하는 데에는 여러 관점이 있다. 아래는 기본적으로 양자역학의 코펜하겐 해석에 따라 불확정성 원리의 의미를 서술한 것이다.

'불확정성 원리'란 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확히 알아낼 수 없고, 두 측정값의 부정확도를 일정 이하로 줄일 수 없다는 양자역학적 원리이다. 고전역학의 예측과는 달리, 양자역학에서는 위치와 운동량이 동시에 확정적인 값을 가질 수 없으며 위치의 불확정성과 운동량의 불확정성이 플랑크상수에 의해 제한되어 있다. 이는 입자계로부터 동일한 측정의 과정을 여러 번 거친 통계에 대한 진술이지, 단순히 입자계를 한번 측정하여 얻어지는 결과가 아니다. 양자현상은 특정한 시도에 의해 그때그때 얻어지는 결과물에 대한 예측이 아니며, 여러 번의 관찰로부터 얻어지는 기댓값과 같은 통계적인 예측만을 할 수 있다. 불확정성 원리는 이러한 양자현상의 특성을 잘 보여주는 물리적인 원리이다.

불확정성 원리는 입자의 위치와 운동량 관계에만 성립하는 것만이 아니라 양자역학의 일반적인 관측에 적용될 수 있다. 양자현상의 관측량들은 연산자에 의해 얻어지는데, 각 연산자들 사이에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 교환법칙이 성립하지 않는 두 연산자를 '교환(맞바꿈) 관계에 있지 않다'라고 말하기도 하는데, 이러한 두 연산자에 대해서는 불확정성 원리가 성립한다. 앞서 언급한 위치와 운동량은 교환관계에 있지 않기 때문에 위치와 운동량의 측정은 불확정적인 것이다. 반면 3차원 공간에서의 위치와 운동량을 측정할 경우엔, 다른 두 방향에서의 위치와 운동량은 서로 교환 가능한 관계이므로 그것들에 대해서는 불확정적이지 않게 (정확하게) 관측할 수 있다. 예를 들어 직교좌표계에서의 관측을 생각해보자. x축 상의 위치를 측정하는 행위는 x축상의 운동량에 영향을 주지만, 이 관측은 y축과 z축 상의 위치와 운동량 관측에는 아무런 영향을 주지 않으며 모든 관측에 불확정성은 존재하지 않는다. 만약 처음의 결과가 실험 오차에 의한 것이었다면 x축상의 위치와 y축상의 운동량의 측정 역시 제대로 이루어지지 않아야하는데 그렇지 않다는 부분이 바로 기술적 한계와 불확정성 원리가 구별되는 부분이다.

또한 불확정성 원리는 관측 행위의 순서가 관측하고자 하는 상태에 영향을 주는 양자현상의 특징을 함축하고 있기도 하다. 교환관계에 있지 않은 두 연산자에 의한 관측을 연속적으로 수행하는 경우, 즉 한번의 관측을 수행한 후 다른 관측을 수행할 때 두 관측 순서를 바꾸면 각각은 다른 결과가 얻어지게 된다. 이것은 처음의 관측에 의해 상태가 변화하게 되어 다음 관측에서는 처음과 같지 않은 상태에 대해 측정을 수행하기 때문에 발생하는 현상이다. 이렇게 초기 상태가 관측에 의해 다른 상태로 바뀌는 것을 파동 함수 붕괴 (wave function collapse)라고 말한다. 양자 현상의 상태는 파동함수로 표현되므로, 그 파동 함수가 변화했다는 것은 수학적 계산에 의해 전과 같은 관측량을 얻을 수 없다는 것을 뜻한다.

(교환법칙: a * b = b * a)