토론실

원자론에서는 어떤 대상을 설명할 대상을 이루는 부분(요소)들로 말합니다. 예컨대 어떤 집단을 표현할 때는 해당 구성원들을 나열합니다. 그리고 구성원은 또다시 , 체중, 성격, 체형, 머리카락과 피부색 등의 배열로 표현합니다. 1000명으로 이루어진 어떤 집단을 설명하라고 하면 저런 배열을 1000개나 말하는 식입니다.

 

그런데 1000 규모의 집단의 구성원을 안의 매우 개성적인 소수의 사람들의 조합으로 설명할 있다면? 해당 집단을 표현할 모든 구성원을 요소들과 함께 나열할 필요가 없어집니다. 다만 뼈대가 되는 몇몇 사람들만 알려주면 됩니다. 1000명인 집단을 설명할 , 해당 집단의 모든 구성원은 사람의 조합을 벗어나지 않는다고만 말하면 되는 것입니다

 

Ex) '어떤 사람X'= 2곱하기'개성적인 사람A' + '개성적인 사람B'

어떤 사람을 표현함에 있어 수직적으로 사람의 부분인 팔다리가 아니라, 수평적인 다른 사람들의 조합으로 표현한다는 면에서 기존의 원자론의 한계를 극복하려는 시도로 있겠습니다. 그래봤자 사건 개념이 아닌 집합 개념이지만 말입니다.

 

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사실 수학에서도 위와 비슷한 일을 하는 사례가 있습니다. 그래봤자 집합을 다룹니다만, 적어도 어떤 집합을 쉽게 표현하거나 어떤 집합의 한계를 쉽게 파악합니다. 바로 벡터공간이라는 벡터들이 모인 집합에 대하여, 안의 몇몇 벡터들로 이루어진 기저(basis)라고 하는 부분집합의 정의입니다

 

벡터라는 것은 수학에서 매우 중요하게 다뤄지며 현실 세계에서도 중요하게 사용됩니다. 대표적인 기계학습 알고리즘, 그래픽 생성, 데이터 처리 외에도 말이죠. 그런데 수학에서 벡터는 벡터공간의 정의를 만족하는 집합의 원소라고 합니다. 예컨대 어떤 집단이 문명적이면 구성원도 문명인이라고 정의하는 식인가 봅니다.

 

벡터공간-위키(어렵게도 써놨습니다.)

https://ko.m.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84

 

벡터공간의 정의에 대해서는 패스해도 좋으니 좀 더 본론에 가까운 얘기를 하겠습니다. 벡터공간에서는 기저(basis)라는 개념이 매우 중요하게 다뤄집니다. 기저란 해당 벡터공간의 벡터들 가장 기초가 되는 벡터들의 집합을 일컫습니다. 해당 벡터공간의 특별한 부분집합이라는 것이지요. 기저를 구성하는 벡터들은 기저벡터라 불리우며 이들은 서로 수학적인 '선형독립'관계입니다.

 

글의 처음 말한 1000명의 집단에 대입해보겠습니다. 1000명은 특정 벡터공간이고, 명의 구성원은 하나의 벡터(=180cm, 체중=100kg, 체형=신체의 가로 세로 비율, 피부색=명암도) 셈입니다 

개성적이라는 말을 선형독립에 대응시킨다면, 개성적인 사람은 기저에 해당한다고 있겠습니다. 어떤 사람에 대해서는 기저에 해당되는 사람들을 이용해 위에서의 ex) 같은 연산으로 표현이 가능하겠습니다. 연산은 키는 키대로, 체중은 체중대로 짝을 맞추어 연산하는 식입니다.

 

이제 기저를 이루는 사람이 20명이라면, 집단은 20명의 조합의 다양성을 벗어나지 않는다고 말할 있습니다. 이때 수학에서는 집단의 차원을 20차원이라고 말합니다. 구조론에서의 차원 개념에 비해서는 한참 떨어지는 용어 정의지요


사실 수학에서는 정의를 워낙 딱딱하게 하려다 보니, 오히려 헷갈리는 경우가 많습니다. 일례로 벡터공간의 원소인 벡터들을 나열한, 행렬의 랭크를 곧 해당 벡터공간의 차원이라고 합니다. 그런데 이 '랭크'라는 표현은 텐서에서도 등장합니다. 벡터는 1차텐서이고 행렬은 2차 텐서입니다. 그런데 텐서에도 1차,2차 같이 랭크가 있고, 2차 랭크 텐서인 행렬 안에서도 또 랭크가 막 나눠집니다.


물론 구조론에서도 각각의 사건마다 5개의 차원(0~4)를 적용합니다만, 수학에서 그때그때 랭크를 적용하는 것은 구조론과도 다릅니다. 공간 역시 유클리드 공간, 위상 공간 등 하나가 아니구요. 아무튼 수학에서의 공간이니 차원이니 하는 말은 부분적으로는 절대적인 용어일지라도, 수학 전체에서 보면 상대적인 표현들이 많습니다. 

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